Question

14．在一個(gè)圓筒內(nèi)有一個(gè)折射率為n、半徑為R的半球形玻璃磚，玻璃磚的平面與圓筒壁垂直，圓筒的半徑也為R，此裝置的剖面圖如圖所示．現(xiàn)有一束平行單色光垂直玻璃磚的平面射向玻璃磚，有部分光線(xiàn)從玻璃磚中射出，已知光在真空中的速度為c，求：
（i）射出玻璃磚的光線(xiàn)在玻璃磚中傳播的最短時(shí)間；
（ii）要想所有光線(xiàn)都不需要射出玻璃磚，可在玻璃磚的平面上粘貼黑紙，求黑紙的最小面積．

Answer 1

分析 （i）射出玻璃磚時(shí)間最短的光線(xiàn)恰好在玻璃磚圓弧發(fā)生全反射，根據(jù)sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射臨界角，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求出光線(xiàn)在玻璃中的運(yùn)動(dòng)距離，由v=$\frac{c}{n}$求得光線(xiàn)在玻璃中的速度，從而求得最短的傳播時(shí)間；
（ii）可根據(jù)幾何知識(shí)求在玻璃磚的平面上粘貼黑紙，

解答 解：（i）光線(xiàn)從玻璃磚射入空氣，設(shè)全反射臨界角為θ，則：sinθ=$\frac{1}{n}$
由數(shù)學(xué)知識(shí)得到：cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$

當(dāng)入射角等于全反射臨界角θ時(shí)（上圖中的光線(xiàn)a），光線(xiàn)在玻璃中的運(yùn)動(dòng)距離為 x=Rcosθ
光線(xiàn)在玻璃中的速度為 v=$\frac{c}{n}$
光線(xiàn)在玻璃中的時(shí)間為 t=$\frac{x}{v}$
解得時(shí)間為：t=$\frac{R}{c}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$．
（ii）設(shè)光線(xiàn)a由空氣射入玻璃的入射點(diǎn)與玻璃磚球心O點(diǎn)之間的距離為r，則 r=Rsinθ
所以黑紙的最小面積為：S=πr²
解得：S=$\frac{π{R}^{2}}{{n}^{2}}$．
答：（i）射出玻璃磚的光線(xiàn)在玻璃磚中傳播的最短時(shí)間是$\frac{R}{c}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$．
（ii）黑紙的最小面積是$\frac{π{R}^{2}}{{n}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要掌握全反射產(chǎn)生的條件，結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行求解即可，此類(lèi)問(wèn)題要注意把握隱含的臨界狀態(tài)，準(zhǔn)確作出光路圖進(jìn)行解題．