Question

4．已知火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比為3：8，火星的半徑與地球的半徑之比為1：2，如果認為地球和火星都是質(zhì)量分布均勻的球體，那么下列計算中正確的有（　�。�

• A． 火星與地球密度之比為4：3
• B． 火星與地球第一宇宙速度之比為3：16
• C． 火星與地球質(zhì)量之比為3：16
• D． 火星的近地衛(wèi)星與地球的近地衛(wèi)星周期之比為2：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，以及密度公式得到密度表達式，再求密度之比．由重力等于向心力表示出第一宇宙速度，求得第一宇宙速度之比．由萬有引力與星球表面重力，求質(zhì)量之比．由重力等于向心力得到近地衛(wèi)星的周期表達式，再求它們周期之比．

解答 解：A、對于任一行星，在該行星表面有 mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得 M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，密度為 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$
據(jù)題火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比為3：8，火星的半徑與地球的半徑之比為1：2，代入上式可得，火星與地球密度之比為3：4．故A錯誤．
B、第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的運行速度，根據(jù)重力提供圓周運動向心力有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得星球的第一宇宙速度：v=$\sqrt{gR}$，所以可得火星與地球第一宇宙速度之比為$\sqrt{3}$：4，故B錯誤．
C、由M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，得火星與地球質(zhì)量之比為3：32，故C錯誤．
D、對近地衛(wèi)星，有 mg=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，得 T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，代入可得火星的近地衛(wèi)星與地球的近地衛(wèi)星周期之比為2：$\sqrt{3}$，故D正確．
故選：D

點評 解決本題的關鍵是抓住萬有引力提供圓周運動向心力，以及萬有引力等于重力，求得描述圓周運動的物理量與中心天體的質(zhì)量和半徑的關系，掌握相關規(guī)律是正確解題的基礎．