Question

6．MN和M′N′為兩豎直放置的平行光滑長直金屬導軌，兩導軌間的距離為L．在導軌的下部有垂直于導軌向里的勻強磁場，磁感應強度為B．金屬棒ef的長度為L、質(zhì)量為m、電阻可忽略不計．在以下討論中，假設導軌足夠長，磁場區(qū)域足夠大，金屬棒ef與導軌垂直并良好接觸，導線和各接觸處的電阻不計，電路的電感、空氣的阻力可忽略，已知重力加速度為g．
（1）如圖甲所示，當在導軌的MM′端通過導線將阻值為R的定值電阻連接，在t=0時無初速度地釋放金屬棒ef，求金屬棒所能達到的最大速度v_m的大�。�
（2）如圖乙所示，當在導軌的MM′端通過導線將電容為C、擊穿電壓為U_b、正對面積為S、極板間可認為是真空、極板間距為d的平行板電容器連接，在t=0時無初速度地釋放金屬棒ef．
①求電容器達到擊穿電壓所用的時間；
②金屬棒ef下落的過程中，速度逐漸變大，感應的電動勢逐漸變大，電容器極板上的電荷量逐漸增加，兩極板間存儲的電場能也逐漸增加．單位體積內(nèi)所包含的電場能稱為電場的能量密度．已知平行板電容器的電容的大小可表示為C=$\frac{{?}_{0}S}dr8qxnn$，?₀為真空中的介電常數(shù)．證明：平行板電容器兩極板間的空間內(nèi)的電場能量密度ω與電場強度E的平方成正比，并求出比例系數(shù)．結(jié)果用?₀和一些數(shù)字的組合表示．

Answer 1

分析 （1）當金屬棒開始運動時，會受到向上的安培力，金屬棒做加速度逐漸減小的加速運動，當加速度減小到0時，速度達到最大．根據(jù)最終達到平衡，列出平衡方程，求出最大速度；
（2）①由左手定則來確定安培力的方向，并求出安培力的大��；借助于I=$\frac{Q}{t}$、a=$\frac{△v}{△t}$及牛頓第二定律來求出速度與時間的關系，再由C=$\frac{Q}{U}$以及法拉第電磁感應定律即可求出電容器達到擊穿電壓所用的時間．
②由法拉第電磁感應定律，求出感應電動勢；再與C=$\frac{{?}_{0}S}q8giqgg$，C=$\frac{Q}{U}$，U=Ed以及電場能的公式相結(jié)合即可求出電場能量密度ω與電場強度E的平方成正比的表達式．

解答 解：（1）當金屬棒勻速運動時，金屬棒受到的安培力和重力是一對平衡力，即：F_安=mg
又因為：${F}_{安}=BIL=B\frac{E}{R}L=B•\frac{BL{v}_{m}}{R}L$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$
所以，金屬棒此時的速度大小為：v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）①在電容器達到擊穿電壓前，設任意時刻t，流過金屬棒的電流為i，由牛頓第二定律，金屬棒的加速度a滿足：mg-BiL=ma
設在t→t+△t的時間內(nèi)，金屬棒的速度：v→v+△v，
電容器兩端的電壓：U→U+△U、
電容器的帶電量：Q→Q+△Q，
由電流的定義、電量電壓和電容間的關系、電磁感應定律以及加速度的定義得：i=$\frac{△Q}{△t}=\frac{C△U}{△t}$=$\frac{CBL△v}{△t}$=CBLa
將此式和上式聯(lián)立得：a=$\frac{mg}{{B}^{2}{L}^{2}C+m}$
可見，金屬棒做初速度為0的勻加速直線運動，當電容器達到擊穿電壓時，金屬棒的速度為：${v}_{0}=\frac{{U}_}{BL}$
所以，電容器達到擊穿電壓所用的時間為：t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{{U}_（{B}^{2}{L}^{2}C+m）}{BLmg}$
②當電容器兩極板間的電荷量增加無窮小量△Q_i時，極板間的電壓可認為始終為U_i，增加的電場能可用圖1中左邊第1個陰影部分的面積表示；同理，當電容器兩極板間的電荷量增加無窮小量△Q_i+1時，極板間的電壓可認為始終為U_i+1，增加的電場能可用圖1中第2個陰影部分的面積表示；依此類推，所以在圖2中，陰影部分的面積表示電容器的帶電量為Q′、兩端電壓為U′時，兩極板間電場能的大小E′，所以：$E′=\frac{1}{2}U′Q′$
根據(jù)題意有：ω=$\frac{E′}{Sd}$，
將Q′=CU′、U′=Ed和C=$\frac{{?}_{0}S}hhq34hx$帶入上式，整理得：$ω=\frac{1}{2}{?}_{0}{E}^{2}$
所以，能量密度ω與電場強度E的平方成正比，且比例系數(shù)為：$\frac{1}{2}{?}_{0}$
答：（1）金屬棒所能達到的最大速度v_m的大小是$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）①電容器達到擊穿電壓所用的時間是$\frac{{U}_（{B}^{2}{L}^{2}C+m）}{BLmg}$；
②能量密度ω與電場強度E的平方成正比的證明如上；其中的比例系數(shù)為$\frac{1}{2}{?}_{0}$．

點評 本題難度比較大，讓學生理解左手定則、安培力的大小、法拉第電磁感應定律，再應用牛頓第二定律、勻變速運動的速度公式、E=BLv即可正確解題．