Question

18．如圖所示，一遙控電動(dòng)賽車（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止以恒定的功率沿水平地面向右加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)固定在豎直面內(nèi)的光滑半圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，由于慣性，賽車?yán)^續(xù)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)，并恰好能通過最高點(diǎn)C（BC為半圓軌道的豎直直徑）．已知賽車的質(zhì)量為m，半圓軌道的半徑為R，A、B兩點(diǎn)間的距離為1.5R，賽車在地面上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力大小恒為$\frac{1}{3}mg$，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，下列判斷正確的是（　　）

• A． 賽車通過C點(diǎn)后落回地面的位置到B點(diǎn)的距離為2R
• B． 賽車通過B點(diǎn)時(shí)的速度大小為$2\sqrt{gR}$
• C． 賽車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，其電動(dòng)機(jī)所做的功為$\frac{5mgR}{2}$
• D． 要使賽車能滑過B點(diǎn)并沿半圓軌道滑回地面，其電動(dòng)機(jī)所做的功W需滿足的條件為$\frac{mgR}{2}＜W≤\frac{3mgR}{2}$

Answer 1

分析 賽車恰好能通過最高點(diǎn)C時(shí)，由重力提供向心力，由此列式求出賽車通過C點(diǎn)時(shí)的速度．賽車離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求賽車通過C點(diǎn)后落回地面的位置到B點(diǎn)的距離．從B到C的過程，由機(jī)械能守恒定律求賽車通過B點(diǎn)時(shí)的速度．研究賽車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理求電動(dòng)機(jī)所做的功．要使賽車能滑過B點(diǎn)并沿半圓軌道滑回地面，由動(dòng)能定理和臨界條件結(jié)合求電動(dòng)機(jī)所做的功W需滿足的條件．

解答 解：A、賽車恰好能通過最高點(diǎn)C時(shí)，由重力提供向心力，則有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得 v_C=$\sqrt{gR}$
賽車離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則得：
水平方向有 x=v_Ct
豎直方向有 2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得 x=2R，即賽車通過C點(diǎn)后落回地面的位置到B點(diǎn)的距離為2R，故A正確．
B、從B到C的過程，由機(jī)械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，解得 v_B=$\sqrt{5gR}$．故B錯(cuò)誤．
C、賽車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得 W-$\frac{1}{3}$mg•1.5R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，解得電動(dòng)機(jī)做的功 W=3mgR．故C錯(cuò)誤．
D、當(dāng)賽車剛好運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)速度為零時(shí)，賽車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得 W₁-$\frac{1}{3}$mg•1.5R=0，解得電動(dòng)機(jī)做的功 W₁=$\frac{1}{2}$mgR
當(dāng)賽車剛好能滑到與圓心等高處速度為零時(shí)，賽車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與圓心等高位置的過程中，由動(dòng)能定理得 W₂-$\frac{1}{3}$mg•1.5R-mgR=0，解得電動(dòng)機(jī)做的功 W₂=$\frac{3}{2}$mgR，所以要使賽車能滑過B點(diǎn)并沿半圓軌道滑回地面，其電動(dòng)機(jī)所做的功W需滿足的條件為$\frac{mgR}{2}＜W≤\frac{3mgR}{2}$．故D正確．
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是要把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的臨界條件，知道賽車剛好通過C點(diǎn)時(shí)，重力等于向心力．剛好到達(dá)與圓心等高處時(shí)速度．分段運(yùn)用動(dòng)能定理研究．