Question

9．如圖所示，真空室內(nèi)水平直線ab（足夠長）以上區(qū)域只存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．有一個(gè)點(diǎn)狀的α粒子放射源P，它在紙面內(nèi)向各個(gè)方向均勻發(fā)射速率相等的α粒子 （不計(jì)α粒子的重力）．放射源P到直線ab的距離PC=L，直線ab上的Q點(diǎn)與P點(diǎn)相距PQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$L已知：α粒子的電荷量為q（q＞0），α粒子的質(zhì)量為m．（sin37°=0.6；cos37°=0.8）則：
（1）已知水平向左射出的α粒子恰好打到直線ab上的Q點(diǎn)，求α粒子的發(fā)射速率；
（2）求打到直線ab上的α粒子所用的最長時(shí)間和最短時(shí)間的比值．
（3）求打到直線ab上的α粒子數(shù)與發(fā)射的α粒子總數(shù)的比值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑，然后由洛倫茲力做向心力求解；
（2）根據(jù)粒子偏轉(zhuǎn)方向和幾何條件得到最長時(shí)間和最短時(shí)間粒子運(yùn)動軌跡，進(jìn)而求得中心角，即可得到運(yùn)動時(shí)間之比；
（3）根據(jù)粒子偏轉(zhuǎn)方向和幾何條件得到打在ab上的粒子發(fā)射角范圍，從而得到比值．

解答 解：（1）水平向左射出的α粒子恰好打到直線ab上的Q點(diǎn)，故由幾何關(guān)系可得：$QC=\frac{1}{2}L$，${R}^{2}=（R-L）^{2}+（\frac{1}{2}L）^{2}$
所以，粒子做圓周運(yùn)動的半徑$R=\frac{5}{8}L$；
又有粒子做圓周運(yùn)動，洛倫茲力做向心力，故有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以，α粒子的發(fā)射速率$v=\frac{BqR}{m}=\frac{5BqL}{8m}$；
（2）粒子在磁場中運(yùn)動向左偏轉(zhuǎn)的半徑相同，周期相同，故轉(zhuǎn)過的中心角和運(yùn)動時(shí)間成正比，
再根據(jù)中心角和弦長的關(guān)系可知：粒子打在ab線上C點(diǎn)左端且軌跡與ab相切的時(shí)候運(yùn)動時(shí)間最長，粒子打在C點(diǎn)時(shí)運(yùn)動時(shí)間最短；
由幾何關(guān)系可知：粒子打在C點(diǎn)左端且軌跡與ab相切轉(zhuǎn)過的中心角為360°-127°=233°；粒子打在C點(diǎn)時(shí)轉(zhuǎn)過的中心角為106°，所以，打到直線ab上的α粒子所用的最長時(shí)間和最短時(shí)間的比值為233：106；
（3）隨著發(fā)射粒子方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，打在ab上的粒子在與ab相切的兩個(gè)點(diǎn)之間從左向右移動；
在最左的點(diǎn)對應(yīng)粒子發(fā)射方向?yàn)榕cPC成37°斜向左上方，在最右邊的粒子對應(yīng)粒子的發(fā)射方向?yàn)榕cPC成37°斜向左下方，故能打在ab上的粒子發(fā)射角為106°；
所以，打到直線ab上的α粒子數(shù)與發(fā)射的α粒子總數(shù)的比值為106：360=53：180；
答：（1）已知水平向左射出的α粒子恰好打到直線ab上的Q點(diǎn)，那么α粒子的發(fā)射速率為$\frac{5BqL}{8m}$；
（2）打到直線ab上的α粒子所用的最長時(shí)間和最短時(shí)間的比值為233：106．
（3）打到直線ab上的α粒子數(shù)與發(fā)射的α粒子總數(shù)的比值為53：180．

點(diǎn)評 帶電粒子的運(yùn)動問題，加速電場一般由動能定理或勻加速運(yùn)動規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場由類平拋運(yùn)動規(guī)律求解；磁場中的運(yùn)動問題則根據(jù)圓周運(yùn)動規(guī)律結(jié)合幾何條件求解．