Question

1．相距d的兩根足夠長(zhǎng)的金屬制成如圖（甲）所示導(dǎo)軌，水平部分左端ef間連接一阻值為2R的定值電阻，并用電壓傳感器實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)兩端電壓，傾斜部分與水平成37°．長(zhǎng)度也為d、質(zhì)量為m的金屬棒ab，電阻為R，通過(guò)固定在棒兩端的金屬輕滑環(huán)套在導(dǎo)軌上，滑環(huán)與導(dǎo)軌上MG、NH段動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{1}{8}$（其余部分摩擦不計(jì)）．MN、PQ、GH相距均為L(zhǎng)，MN、PQ間有垂直軌道平面向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，PQ、GH間有平行于斜面但大小、方向未知的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B_x，其他區(qū)域無(wú)磁場(chǎng)，除金屬棒及定值電阻，其余電阻均不計(jì)，sin37°=0.6．
當(dāng)ab棒從MN上方一定距離由靜止釋放通過(guò)MN、PQ區(qū)域，（運(yùn)動(dòng)過(guò)程ab棒始終保持水平）電壓傳感器檢測(cè)到U-t關(guān)系如圖（乙）所示．

（1）求ab釋放時(shí)距MN距離x；
（2）求定值電阻上產(chǎn)生的熱量Q；
（3）多次操作發(fā)現(xiàn)：當(dāng)ab棒從MN以某一特定速度進(jìn)入MNPQ區(qū)域的同時(shí)，另一質(zhì)量為2m、電阻為2R的金屬棒cd只要以等大速度從PQ進(jìn)入PQGH區(qū)域，兩棒均同時(shí)勻速通過(guò)各自場(chǎng)區(qū)，試求B_x磁場(chǎng)大小和方向．

Answer 1

分析 （1）ab棒進(jìn)入MN時(shí)，由乙圖得到電壓表讀數(shù)，結(jié)合串并聯(lián)電路的知識(shí)可以得到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再結(jié)合切割公式得到速度；從釋放到進(jìn)入MN過(guò)程，根據(jù)速度位移公式列式求解位移；
（2）對(duì)從釋放到進(jìn)入MN過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解克服安培力做的功，根據(jù)功能關(guān)系得到產(chǎn)生的總的熱量，最后結(jié)合焦耳定律得到定值電阻上產(chǎn)生的熱量；
（3）兩個(gè)導(dǎo)體棒均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，均受力平衡，其中ab棒受重力、支持力、摩擦力和安培力，cd棒也是受重力、支持力、安培力和摩擦力；根據(jù)平衡條件、安培力公式分別列式求解．

解答 解：（1）ab進(jìn)入MN時(shí)，設(shè)速度為v₁，由乙圖知定值電阻兩端電壓為U，則
$\frac{2R}{2R+R}$•B₀dv₁=U
解得v₁=$\frac{3U}{2{B}_{0}d}$            ①
靜止釋放到MN，ab棒做加速度為gsin37°的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以位移
x=$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2gsin37°}$              ②
??得x=$\frac{15{U}^{2}}{8g{{B}_{0}}^{2}jv1b7pf^{2}}$ 
（2）ab離開(kāi)PQ時(shí)，設(shè)速度為v₂，由乙圖知定值電阻兩端電壓為2U，則
$\frac{2R}{2R+R}$•B₀dv₂=2U
解得v₂=$\frac{3U}{{B}_{0}d}$            ③
棒ab從MN到PQ，由動(dòng)能定理
mgsin37°•L-μmgcos37°•L-W_安=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁² ④
Q=$\frac{2R}{3R+R}$•W_安         ⑤
①③④⑤聯(lián)立得Q=$\frac{1}{3}$mgL-$\frac{9m{U}^{2}}{4{{B}_{0}}^{2}r3zdjrz^{2}}$ 
（3）相同初速度進(jìn)入場(chǎng)區(qū)，勻速經(jīng)過(guò)相同位移，用時(shí)相等
對(duì)ab棒有：mgsin37°-μmgcos37°-$\frac{{{B}_{0}}^{2}xxjtz3b^{2}v}{2R}$=0            ⑥
得v=$\frac{mgR}{{{B}_{0}}^{2}vt7hx7p^{2}}$
對(duì)cd棒，因?yàn)?mgsin37°-μ•2mgcos37°＞0，故cd棒安培力必須垂直軌道面向下，由左手定則可判定B_x沿軌道平面向上，cd棒也勻速運(yùn)動(dòng)，則：
2mgsin37°-μ（2mgcos37°+B_x×$\frac{1}{2}$×$\frac{{B}_{0}dv}{2R}$×d）=0        ⑦
將v=$\frac{mgR}{{{B}_{0}}^{2}ltpzxhh^{2}}$代入⑦解出B_x=32B₀ 
答：（1）ab釋放時(shí)距MN距離x為$\frac{15{U}^{2}}{8g{{B}_{0}}^{2}hf5lvnh^{2}}$；
（2）定值電阻上產(chǎn)生的熱量Q為$\frac{1}{3}$mgL-$\frac{9m{U}^{2}}{4{{B}_{0}}^{2}fpzjn5p^{2}}$；
（3）B_x磁場(chǎng)大小為32B₀，沿軌道平面向上．

點(diǎn)評(píng) 本題是力電綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是理清電路結(jié)構(gòu)，明確各個(gè)棒的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理、安培力公式和切割公式列式分析，較難．