Question

20．如圖，光滑絕緣的$\frac{1}{4}$圓弧軌道固定在水平面上，其半徑R=0.2m，最低點B的切線平行于水平面；在軌道右側(cè)水平面上方，有方向水平向右電場強度為E=2×10⁶N/C的勻強電場．在靠近軌道右側(cè)有一質(zhì)量為M=2kg，與B點等高的絕緣長木板，一質(zhì)量為2kg，帶電荷量為q=4×10^-6C的小物塊（可看作質(zhì)點）從靠近軌道的最高點A自由滑下，沖上長木板，已知小物塊與木板間、長木板與水平面間的滑動摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.5、μ₂=0.2；g=10m/s²．
求：（1）小物塊到達B點時對軌道的壓力．
（2）要使小物塊不從長木板上掉下來，木板的長度最短為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出物塊到達B點的速度，結(jié)合牛頓第二定律和第三定律求出小物塊對B點的壓力．
（2）分別求出電場力、物塊所受的摩擦力以及木板受到地面的摩擦力，結(jié)合受力得出物塊和木板的運動規(guī)律，運用牛頓第二定律和運動學(xué)公式進行求解．

解答 解：（1）根據(jù)動能定理得，$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得${v}_{B}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.2}$m/s=2m/s，
根據(jù)牛頓第二定律得，$N-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得N=$mg+m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}=20+2×\frac{4}{0.2}N=60N$，
根據(jù)牛頓第三定律知，小物塊到達B點時對軌道的壓力為60N．
（2）小物塊所受的電場力qE=4×10^-6×2×10⁶N=8N，
長木板對小物塊的滑動摩擦力f₁=μ₁mg=0.5×20N=10N，
地面對長木板的滑到摩擦力f₂=μ₂（M+m）g=0.2×40N=8N，
可知物塊滑上木板后，先做勻減速直線運動，木板做勻加速直線運動，當(dāng)兩者速度相等，一起做勻速運動．
物塊勻減速直線運動的加速度大小${a}_{1}=\frac{{f}_{1}-qE}{m}=\frac{10-8}{2}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，
木板做勻加速直線運動的加速度大小${a}_{2}=\frac{{f}_{1}-{f}_{2}}{M}=\frac{10-8}{2}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，
設(shè)速度相等經(jīng)歷的時間為t，則有：v_B-a₁t=a₂t，解得t=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{2}{2}s=1s$，
此時物塊的位移${x}_{1}={v}_{B}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=2×1-\frac{1}{2}×1×1m=1.5m$，木板的位移${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{1}{2}×1×1m=0.5m$，
可知木板的最短長度L=x₁-x₂=1.5-0.5m=1m．
答：（1）小物塊到達B點時對軌道的壓力為60N；
（2）要使小物塊不從長木板上掉下來，木板的長度最短為1m．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律和運動學(xué)公式的綜合運用，對于第二問，也可以抓住木塊和木板組成的系統(tǒng)所受的外力之和為零，結(jié)合動量守恒和能量守恒進行求解．