Question

11．聯(lián)動(dòng)裝置比賽是很有科學(xué)趣味的活動(dòng)．某小組設(shè)計(jì)了如圖所示的裝置，MN、PQ為兩根固定在斜面上的平行長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌，間距L=2m，斜面傾角θ=37°．導(dǎo)軌底端接有額定電壓U=3.0V、電阻R=10Ω的小燈泡．一根質(zhì)量M=0.4kg的直金屬棒ab垂直于兩導(dǎo)軌放置并被鎖定（鎖定部件未畫(huà)出），解鎖小開(kāi)關(guān)在斜面上方O點(diǎn)，O點(diǎn)與兩導(dǎo)軌的距離相等．兩導(dǎo)軌之間存在方向垂直斜面向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=$\sqrt{2}$T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．導(dǎo)軌MN上有一個(gè)與O點(diǎn)相距d=$\sqrt{2}$m的帶電粒子發(fā)射源A，可以沿著與斜面平行的各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量m=2.0×10^-12kg、電荷量q=+4.0×10^-8C的粒子，當(dāng)粒子擊中O點(diǎn)時(shí)會(huì)觸動(dòng)小開(kāi)關(guān)從而解除對(duì)金屬棒ab的鎖定．a(chǎn)b與軌道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，除小燈泡的電阻外其他電阻不計(jì)，忽略帶電粒子的重力．
（1）為了使金屬棒ab解鎖，求粒子發(fā)射的最小速度值v₀；
（2）為了使金屬棒ab解鎖，若粒子發(fā)射速度v₁=4.0×10⁴m/s，求粒子的發(fā)射方向；
（3）金屬棒ab解鎖后，試通過(guò)計(jì)算分析本聯(lián)動(dòng)裝置能否使小燈泡正常發(fā)光．

Answer 1

分析 （1）畫(huà)出在導(dǎo)軌平面上的粒子軌跡過(guò)程圖，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合臨界幾何關(guān)系，即可求出使金屬棒ab解鎖，求粒子發(fā)射的最小速度值v₀；
（2）畫(huà)出粒子軌跡過(guò)程圖，利用洛倫茲力提供向心力求出半徑，再結(jié)合幾何關(guān)系，即可求出粒子發(fā)射速度v₁=4.0×10⁴m/s，使金屬棒ab解鎖的粒子的發(fā)射方向；
（3）利用法拉第電磁感應(yīng)定律導(dǎo)體棒切割磁感線的公式E=BLv，結(jié)合速度最大的條件：加速度為0，求出小燈泡兩端電壓的最大值與小燈泡的額定電壓U做比較，即可判斷出本聯(lián)動(dòng)裝置能否使小燈泡正常發(fā)光．

解答 解：（1）畫(huà)出在導(dǎo)軌平面上的粒子軌跡過(guò)程圖，如圖所示，

洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
粒子發(fā)射的能使金屬棒ab解鎖的速度最小時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系有：R=$\fracoxs7m66{2}$
解得：v₀=$\frac{qBd}{2m}$=$\frac{4.0×1{0}^{-8}×\sqrt{2}×\sqrt{2}}{2×2.0×1{0}^{-12}}$m/s=2.0×10⁴m/s
（2）設(shè)此時(shí)粒子半徑為R′，圓心為O′′，粒子的發(fā)射方向與MA成α角，
畫(huà)出在導(dǎo)軌平面上的粒子軌跡過(guò)程圖，如圖所示，

洛倫茲力提供向心力：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R′}$，可得：R′=2R=d=$\sqrt{2}$m
可知△AOO′′為等邊三角形，所以：∠O′′AO=60°
又因：A點(diǎn)粒子速度與半徑O′′A垂直，并且：∠OAM=45°
故：α=90°-∠O′′AO+∠OAM=90°-60°+45°=75°
所以粒子的發(fā)射方向?yàn)椋貉匦泵嫦蛳屡cMA之間的夾角為75°
（3）ab棒解鎖后將沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)最大速度為v_m，ab棒兩端的最大電動(dòng)勢(shì)為E_m
則：E_m=BLv_m
閉合電路歐姆定律可得：I=$\frac{{E}_{m}}{R}$
安培力公式：F_安=BIL
速度最大時(shí)有：Mgsinθ=μMgcosθ+F_安
解得：v_m=$\frac{（Mgsinθ-μMgcosθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$=1m/s
E_m=BLv_m=2$\sqrt{2}$V
由于E_m＜U，故本聯(lián)動(dòng)裝置不能使小燈泡正常發(fā)光
答：（1）為了使金屬棒ab解鎖，求粒子發(fā)射的最小速度值v₀為2.0×10⁴m/s；
（2）為了使金屬棒ab解鎖，若粒子發(fā)射速度v₁=4.0×10⁴m/s，粒子的發(fā)射方向?yàn)檠匦泵嫦蛳屡cMA之間的夾角為75°；
（3）金屬棒ab解鎖后，本聯(lián)動(dòng)裝置不能使小燈泡正常發(fā)光．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)以及導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)模型，解題關(guān)鍵是要讀懂題，分析好已知條件和要求解的物理量選擇合適的規(guī)律解題，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)運(yùn)用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，導(dǎo)體棒切割磁感線的過(guò)程運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律的公式E=BLv與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力學(xué)條件結(jié)合，第（3）問(wèn)中，知道加速度為0時(shí)，速度達(dá)到最大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，是解決此問(wèn)的關(guān)鍵．