15.1932年,勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器.回旋加速器的工作原理如圖(甲)所示,置于高真空中的D形金屬盒半徑為R,兩盒間的狹縫很小,帶電粒子穿過的時(shí)間可以忽略不計(jì).磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直.A處粒子源產(chǎn)生的粒子,質(zhì)量為m、電荷量為+q,初速度為0,在加速器中被加速,加速電壓為U,加速過程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用.
(1)求粒子第1次和第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比;
(2)求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t;
(3)近年來,大中型粒子加速器往往采用多種加速器的串接組合.例如由直線加速器做為預(yù)加速器,獲得中間能量,再注入回旋加速器獲得最終能量.n個(gè)長(zhǎng)度逐個(gè)增大的金屬圓筒和一個(gè)靶,它們沿軸線排列成一串,如圖(乙)所示(圖中只畫出了六個(gè)圓筒,作為示意).各筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端.整個(gè)裝置放在高真空容器中.圓筒的兩底面中心開有小孔.現(xiàn)有一電量為q、質(zhì)量為m的正離子沿軸線射入圓筒,并將在圓筒間的縫隙處受到電場(chǎng)力的作用而加速(設(shè)圓筒內(nèi)部沒有電場(chǎng)).縫隙的寬度很小,離子穿過縫隙的時(shí)間可以不計(jì).已知離子進(jìn)入第一個(gè)圓筒左端的速度為v1,且此時(shí)第一、二兩個(gè)圓筒間的電勢(shì)差φ12=-U.為了使離子以最短時(shí)間打到靶上且獲得最大能量,金屬圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件?并求出在這種情況下打到靶上的離子的能量.

分析 (1)電場(chǎng)力時(shí)粒子在電場(chǎng)中加速,根據(jù)動(dòng)能定理求得速度,洛倫茲力提供粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力即可求得半徑;
(2)根據(jù)$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$求得粒子射出時(shí)具有的最大動(dòng)能,所具有的動(dòng)能為粒子在電場(chǎng)中的加速獲得的,根據(jù)加速次數(shù)即可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間;
(3)由動(dòng)能定理可以求出筒的長(zhǎng)度與粒子獲得的動(dòng)能.

解答 解:(1)設(shè)粒子第1次經(jīng)過狹縫后的速度為v1,半徑為r1.$qU=\frac{1}{2}mv_1^2$
qv1B=$m\frac{v_1^2}{r_1}$
解得:${r_1}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
同理,粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑${r_2}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m•2U}{q}}$
則$\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$
(2)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周,被電場(chǎng)加速兩次.設(shè)粒子到出口處被加速了n次.nUq=$\frac{1}{2}mv_m^2$
qvmB=$m\frac{v_m^2}{R}$
解得:$n=\frac{{q{B^2}{R^2}}}{2mU}$
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間$t=\frac{n}{2}T=\frac{{πB{R^2}}}{2U}$
(3)為了使離子以最短時(shí)間打到靶上且獲得最大能量,要求離子每次穿越縫隙時(shí),前一個(gè)圓筒的電勢(shì)比后一個(gè)圓筒的電勢(shì)高U,穿過每個(gè)圓筒的時(shí)間恰好等于交流電的半個(gè)周期.由于圓筒內(nèi)無電場(chǎng),離子在筒內(nèi)做勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)vn為離子在第n個(gè)圓筒內(nèi)的速度,則第n個(gè)圓筒的長(zhǎng)度${L_n}={v_n}•\frac{T}{2}=\frac{v_n}{2f}$
$(n-1)qU=\frac{1}{2}m{v_n}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$
${v_n}=\sqrt{\frac{2(n-1)qU}{m}+{v_1}^2}$
第n個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足的條件為${L_n}=\frac{1}{2f}\sqrt{\frac{2(n-1)qU}{m}+{v_1}^2}$(n=1,2,3,…)
離子打到靶上的能量${E_{km}}=(n-1)qU+\frac{1}{2}m{v_1}^2$(n=1,2,3,…)
答:1)粒子第1次和第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比1:$\sqrt{2}$;
(2)求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t為$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$;
(3)金屬圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足${L_n}=\frac{1}{2f}\sqrt{\frac{2(n-1)qU}{m}+{v_1}^2}$(n=1,2,3,…)
這種情況下打到靶上的離子的能量${E_{km}}=(n-1)qU+\frac{1}{2}m{v_1}^2$(n=1,2,3,…).

點(diǎn)評(píng) 回旋加速器中的電場(chǎng)起加速作用,磁場(chǎng)起偏轉(zhuǎn)作用;電場(chǎng)的周期應(yīng)與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等.

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A.v$\root{3}{\frac{v{T}^{2}}{4g{π}^{2}}}$-$\frac{{v}^{2}}{g}$B.$\root{3}{\frac{v{T}^{2}}{4g{π}^{2}}}$-$\frac{{v}^{2}}{g}$
C.v$\root{3}{\frac{v{T}^{2}}{4g{π}^{2}}}$-$\frac{{v}^{4}}{g}$D.$\root{3}{\frac{v{T}^{2}}{4gπ}}$-$\frac{{v}^{4}}{g}$

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10.如圖所示,水平傳送帶以恒定速率v1運(yùn)行,一小物塊以初速度v2從與傳送帶等高的水平面上的A處滑上傳送帶.從小物塊滑上傳送帶開始計(jì)時(shí),小物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖乙所示,則( 。
A.t2時(shí)刻,小物塊離A處最遠(yuǎn)
B.0~t2時(shí)間內(nèi),小物塊受到的摩擦力恒定不變
C.0~t2時(shí)間內(nèi),摩擦力對(duì)小物塊一直做負(fù)功
D.t3<2t1

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20.用圖(a)所示的實(shí)驗(yàn)裝置驗(yàn)證牛頓第二定律:
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(2)該同學(xué)在平衡摩擦力后進(jìn)行實(shí)驗(yàn),實(shí)際小車在運(yùn)動(dòng)過程中所受的拉力小于砝碼和盤的總重力(填“大于”、“小于”或“等于”),為了便于探究、減小誤差,應(yīng)使小車質(zhì)量M與砝碼和盤的總質(zhì)量m滿足M>>m的條件.
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A.A的加速度不變
B.此過程恒力F做的功等于物塊A增加的機(jī)械能
C.此過程中恒力F的功率可能先增大后減小
D.此過程彈簧彈力對(duì)物塊A做功為零

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A.通過R3的電流方向先向左后向右B.通過R3的電流方向一直向右
C.通過R3的電荷量為2×10-12CD.通過R3的電荷量為9×10-12C

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