Question

14．如圖所示，兩根電阻不計(jì)的相同平行金屬直導(dǎo)軌豎直放置，軌道間距為2L，軌道上端接一定值電阻，阻值為R，下端固定在絕緣的水平面上，一輕質(zhì)彈簧固定在地面上和兩側(cè)軌道距離相等，MNQP區(qū)域有垂直于導(dǎo)軌平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，將質(zhì)量為m，電阻不計(jì)的金屬桿ab套在軌道兩側(cè)，從距PQ為2L的位置由靜止釋放，由于兩側(cè)擠壓桿滑動過程中受到的總摩擦力大小f=$\frac{1}{4}$mg，已知ab桿下滑過程中離開磁場前已經(jīng)勻速，ab桿離開磁場后下滑到距MN為L時彈簧壓縮到最短，然后反彈沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動到PQ時速度恰好為零．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，在上述過程中，求：
（1）ab桿向下剛進(jìn)入磁場時的速度v₀大小是多少？
（2）彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能E_p是多少？
（3）ab桿向下運(yùn)動的過程和向上運(yùn)動的過程中電阻R所產(chǎn)生的熱量之差△Q是多少？

Answer 1

分析 （1）ab下滑過程中，根據(jù)動能定理求解剛進(jìn)入磁場時的速度v₀大��；
（2）金屬桿勻速時，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律求解勻速運(yùn)動的速度，從出磁場到彈簧壓到最短過程中，根據(jù)功能關(guān)系求解彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能E_p；
（3）根據(jù)功能關(guān)系求解下滑過程中電阻產(chǎn)熱為Q₁和上滑過程中電阻產(chǎn)熱為Q₂，由此求解電阻R所產(chǎn)生的熱量之差△Q．

解答 解：（1）ab下滑過程中，根據(jù)動能定理可得：
$mg•2L-f•2L=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v_0}=\sqrt{3gL}$；
（2）金屬桿勻速時，設(shè)速度為v₁
根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得：mg=f+F
而安培力F=2BIL
解得$I=\frac{E}{R}$
根據(jù)電動勢的計(jì)算公式可得：E=2BLv₁
聯(lián)立解得：${v_1}=\frac{3mgR}{{16{B^2}{L^2}_{\;}}}$
從出磁場到彈簧壓到最短過程中，根據(jù)功能關(guān)系可得：$mgL+\frac{1}{2}mv_1^2=fL+{E_p}$
解得：${E_p}=\frac{3}{4}mgL+\frac{{9{m^3}{g^2}{R^2}}}{{512{B^4}{L^4}}}$；
（3）下滑過程中電阻產(chǎn)熱為Q₁，則：$mg•3L=\frac{1}{2}mv_1^2+{Q_1}+f•3L$
${Q_1}=\frac{9}{4}mgL-\frac{1}{2}mv_1^2$
上滑過程中電阻產(chǎn)熱為Q₂，則：E_p=Q₂+2mgL+2fL
解得${Q_2}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{7}{4}mgL$
所以熱量之差：$△Q={Q_1}-{Q_2}=4mgL-\frac{{9{m^3}{g^2}{R^2}}}{{256{B^4}{L^4}}}$．
答：（1）ab桿向下剛進(jìn)入磁場時的速度v₀大小是$\sqrt{3gL}$；
（2）彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能E_p是$\frac{3}{4}mgL+\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{512{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）ab桿向下運(yùn)動的過程和向上運(yùn)動的過程中電阻R所產(chǎn)生的熱量之差△Q是$4mgL-\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{256{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下物體的平衡問題；另一條是能量，分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．