Question

4．北京時(shí)間2017年2月23日凌晨2點(diǎn)，美國航天局舉行新聞發(fā)布會(huì)，宣布確認(rèn)發(fā)現(xiàn)一個(gè)擁有7個(gè)類地行星的恒星系統(tǒng)TRAPPIST-1（簡稱T-1）．在這繞T-1做圓周運(yùn)動(dòng)的七兄弟（1b、1c、1d、1e、1f、1g、1h）則，1e、1f、1g被認(rèn)為是最有可能存在液態(tài)水的．部分?jǐn)?shù)據(jù)與地球的數(shù)據(jù)比較如表：

	公轉(zhuǎn)周期	與恒星中心距離（AU）	行星質(zhì)量（ME）	行星半徑（RE）
太陽系-地球	1	1	1	1
TRAPPIST-1e	1/60	1/36	0.60	0.90
TRAPPIST-1f	1/40		1.0	0.68

將T-1、1e、1f均視為質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮七兄弟間的相互作用，則（　　）

• A． T-1的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的$\frac{25}{324}$倍
• B． 1f與恒星T-1的距離約為$\frac{1}{4}$$\root{3}{\frac{1}{162}}$AU
• C． 1e表面的重力加速度約是地球表面重力加速度的0.74倍
• D． 1e的第一宇宙速度約為地球第一宇宙速度的0.70倍

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力分別求出比鄰星和太陽的質(zhì)量，從而得出比鄰星質(zhì)量是太陽質(zhì)量的比值．
根據(jù)開普勒第三定律得出距離；
行星表面的物體受到的萬有引力近似等于重力求出表面的重力加速度的關(guān)系；
根據(jù)萬有引力提供向心力求出第一宇宙速度．

解答 解：A、設(shè)恒星系統(tǒng)TRAPPIST-1的質(zhì)量為M_T，根據(jù)萬有引力提供向心力，得：
$\frac{G{M}_{T}{M}_{E}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{{M}_{E}•4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$，
得：${M}_{T}=\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$．
根據(jù)$G\frac{{M}_{日}^{\;}{m}_{地}^{\;}}{{r}_{2}^{2}}={m}_{地}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{r}_{2}^{\;}$，
解得：${M}_{日}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$．
則：$\frac{{M}_{T}}{{M}_{日}}$=$\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}•\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$=$（\frac{1}{36}）^{3}×6{0}^{2}$=$\frac{25}{324}$．即T-1的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的$\frac{25}{324}$倍．故A正確；
B、根據(jù)開普勒第三定律的推廣可知：
$\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{f}^{3}}=\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{f}^{2}}$
所以：${r}_{f}=\root{3}{\frac{{T}_{f}^{2}}{{T}_{1}^{2}}}•{r}_{1}$=$\root{3}{\frac{（\frac{1}{40}）^{2}}{（\frac{1}{60}）^{2}}}×\frac{1}{36}$AU=$\frac{1}{36}•\root{3}{\frac{9}{4}}$AU．故B錯(cuò)誤；
C、行星表面的物體受到的萬有引力近似等于重力，則：
$\frac{G{m}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}=mg$
所以：g=$\frac{G{m}_{地}}{{R}_{地}^{2}}$
所以：$\frac{{g}_{1}}{g}=（\frac{{M}_{E}}{{m}_{地}}）•（\frac{{R}_{地}}{{R}_{E}}）^{2}$=$0.60×（\frac{1}{0.9}）^{2}=\frac{60}{81}$≈0.74．故C正確；
D、根據(jù)萬有引力提供向心力，得：$\frac{G{m}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{地}}$
所以：v=$\sqrt{\frac{G{m}_{地}}{{R}_{地}}}$
所以：$\frac{{v}_{1}}{v}=\sqrt{\frac{{M}_{E}}{{m}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{E}}}$=$\sqrt{0.6×\frac{1}{0.9}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$≈0.82．故D錯(cuò)誤．
故選：AC

點(diǎn)評(píng) 該題使用的公式比較多，要抓�。涵h(huán)繞天體繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)，通過萬有引力提供向心力可以求出中心天體的質(zhì)量，不能求出環(huán)繞天體的質(zhì)量．