Question

19．如圖所示，半徑為R的四分之一光滑圓形固定軌道右端連接一光滑的水平面，質(zhì)量為M=3m的小球Q連接著輕質(zhì)彈簧靜止在水平面上，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的滑塊P（可看成質(zhì)點）從B點正上方h=R高處由靜止釋放，重力加速度為g．求：
（1）滑塊到達圓形軌道最低點C時的速度大小和對軌道的壓力；
（2）在滑塊壓縮彈簧的過程中，彈簧具有的最大彈性勢能；
（3）若滑塊從B上方高H處釋放，恰好使滑塊經(jīng)彈簧反彈后能夠回到B點，則高度H的大�。�

Answer 1

分析 （1）滑塊P從A運動到C的過程，根據(jù)機械能守恒求解到達C點時的速度．在最低點C處，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得軌道對滑塊的支持力，結(jié)合牛頓第三定律求解滑塊對軌道的壓力；
（2）彈簧被壓縮過程中，當(dāng)滑塊小球速度相等時，彈簧具有最大彈性勢能，以向右為正，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒結(jié)合機械能守恒定律列式求解；
（3）滑塊P從B上方高h處釋放，根據(jù)動能定理求出到達水平面的速度，彈簧被壓縮后再次恢復(fù)到原長得過程中，根據(jù)動量守恒定律以及機械能守恒定律列式，P球經(jīng)彈簧反彈后恰好回到B點得過程中，根據(jù)動能定理列式，聯(lián)立方程求解．

解答 解：（1）滑塊P從A運動到C過程，根據(jù)機械能守恒得
  mg（h+R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
又h=R，代入解得 v_C=2$\sqrt{gR}$
在最低點C處，對滑塊，根據(jù)牛頓第二定律有：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得軌道對滑塊P的支持力 F_N=5mg
根據(jù)牛頓第三定律知滑塊P對軌道的壓力大小為5mg，方向豎直向下．
（2）彈簧被壓縮過程中，當(dāng)兩球速度相等時，彈簧具有最大彈性勢能，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒有：mv_C=（m+M）v
根據(jù)機械能守恒定律有  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=E_Pm+$\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}$
聯(lián)立解得 E_Pm=$\frac{3}{2}$mgR
（3）滑塊P從B上方高h處釋放，到達水平面速度為v₀，則有
   mg（H+R）=$\frac{1}{2}$mv₀²．
彈簧被壓縮后再次恢復(fù)到原長時，設(shè)滑塊P和Q的速度大小分別為v₁和v₂，根據(jù)動量守恒有：mv₀=-mv₁+Mv₂
根據(jù)機械能守恒有 $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²
要使滑塊P經(jīng)彈簧反彈后恰好回到B點，則有 mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²
聯(lián)立解得 H=3R
答：
（1）滑塊到達圓形軌道最低點C時的速度大小是2$\sqrt{gR}$，對軌道的壓力大小為5mg，方向豎直向下．
（2）在滑塊壓縮彈簧的過程中，彈簧具有的最大彈性勢能是$\frac{3}{2}$mgR．
（3）高度H的大小是3R．

點評 本題主要考查了動量守恒定律、機械能守恒定律以及動能定理的直接應(yīng)用，注意在應(yīng)用動量守恒定律解題時要規(guī)定正方向，注意使用動能定理解題時要選好研究過程．