Question

20．如圖所示，粗糙的斜面AB下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，整個(gè)裝置豎直放置，C是最低點(diǎn)，圓心角θ=37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R=1m，斜面長L=4m，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m=0.5kg的小物體P從斜面AB上端A點(diǎn)無初速下滑，物體P與斜面AB之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25．不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）物體P第一次通過C點(diǎn)時(shí)的速度大小V_G；
（2）物體P第一次通過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力N；
（3）物體P第一次離開D點(diǎn)后在空中做豎直上拋運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)E，接著從空中又返回到圓軌道和斜面，在這樣多次反復(fù)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程后，求物體P在斜面上通過的總路程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出物體P第一次通過C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）在C點(diǎn)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解壓力N．
（3）物體從A點(diǎn)無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能不斷減小，到達(dá)的最大高度越來越小，最終在圓弧上來回運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零．物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負(fù)功，滑動(dòng)摩擦力做的總功與總路程成正比，根據(jù)動(dòng)能定理求解總路程．

解答 解：（1）從A到C，由動(dòng)能定理得
   mg[Lsinθ+R（1-cosθ）]-μmgcosθ•L=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 v_C=6m/s
（2）在C點(diǎn)，設(shè)軌道對(duì)物體的支持力F_N，由牛頓第二定律得
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 F_N=23N 
由牛頓第三定律可知，物體對(duì)C點(diǎn)的最大壓力N為23N，方向向下．
（3）設(shè)物體P在斜面上滑行的總路程為S．對(duì)物體從A到B的全過程，應(yīng)用動(dòng)能定理得
     mgLsinθ-μmgcosθS=0
解得   S=$\frac{Ltanθ}{μ}$=$\frac{4×\frac{3}{4}}{0.25}$m=12m
答：
（1）物體P第一次通過C點(diǎn)時(shí)的速度大小是6m/s．
（2）物體P第一次通過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力N是23N；
（3）物體P在斜面上通過的總路程是12m．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析物體的運(yùn)動(dòng)過程，抓住滑動(dòng)摩擦力做功與路程有關(guān)這一特點(diǎn)．