Question

20．如圖所示，傳送帶與水平地面間的夾角θ=37°，其上端點(diǎn)A到下端點(diǎn)B的長度L=16m，在傳送帶的A點(diǎn)無初速度地放一個(gè)質(zhì)量為m=0.5kg的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)），已知物體與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，取g=10m/s²，問
（1）如傳送帶保持靜止，求物體沿傳送帶從A下滑到B得時(shí)間；
（2）如果傳送帶以v₀=10m/s的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，求物體從A運(yùn)動(dòng)到B得時(shí)間；
（3）要使物體從A運(yùn)動(dòng)到B得時(shí)間最短，求傳送帶運(yùn)動(dòng)的最小速度．

Answer 1

分析 （1）傳送帶靜止時(shí)，物體沿傳送帶勻加速下滑，分析物體的受力，由牛頓第二定律求加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式求時(shí)間；
（2）如傳送帶以v₀=10m/s的速率逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，物體開始時(shí)受到沿斜面向下的滑動(dòng)摩擦力，由牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出速度增加到與傳送帶相同所經(jīng)歷的時(shí)間．速度相同時(shí)，由于μ＜tan37°，物體繼續(xù)向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，所受的滑動(dòng)摩擦力沿斜面向上，再由牛頓第二定律求出加速度，再位移公式求出時(shí)間，即可求得總時(shí)間；
（3）當(dāng)物體從A運(yùn)動(dòng)到B一直做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所需要的時(shí)間最短，由位移公式求出最短的時(shí)間．由速度公式求出傳送帶最小的速度．

解答 解：（1）傳送帶靜止時(shí)，物體受到沿斜面向上的滑動(dòng)摩擦力作用，由牛頓第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma，
得加速度a=g（sinθ-μcosθ）=2m/s²
由L=$\frac{1}{2}$at²，
得t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=4s
（2）如傳送帶以v₀=10m/s的速率逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，物體開始時(shí)受到沿斜面向下的滑動(dòng)摩擦力，由牛頓第二定律得
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，
加速度為a₁=10m/s²
則物體加速到速度與傳送帶相同所經(jīng)歷的時(shí)間為 t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=1s，
此過程通過的位移為 s₁=$\frac{1}{2}$a₁${t}_{1}^{2}$=5m，
由于μ=0.5＜tan37°，則速度相同后物體繼續(xù)向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，所受的滑動(dòng)摩擦力將沿斜面向上，則有
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，
解得 加速度為 a₂=2m/s²
由 1₁=v₀t₂+$\frac{1}{2}$a₂${t}_{2}^{2}$，解得，t₂=1s，
故物體從A運(yùn)動(dòng)到B需要的時(shí)間為t=t₁+t₂=2s
（3）物體從A運(yùn)動(dòng)到B一直以加速度a₁=10m/s²勻加速運(yùn)動(dòng)需要的時(shí)間最短，設(shè)最短時(shí)間為t_min，則
L=$\frac{1}{2}$a₁ ${t}_{min}^{2}$
解得t_min=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{1}}}$=$\sqrt{3.2}$s
當(dāng)物體到達(dá)傳送帶底端速度恰好與傳送帶速度相同時(shí)，傳送帶速度為v=a₁t_min=10$\sqrt{3.2}$m/s，則傳送帶的速度大于等于
10$\sqrt{3.2}$m/s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體從A運(yùn)動(dòng)到B需要的時(shí)間最短．
答：
（1）如傳送帶保持靜止，物體沿傳送帶下滑時(shí)間是4s；
（2）如傳送帶以v₀=10m/s的速率逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．物體從A運(yùn)動(dòng)到B需要的時(shí)間是2s；
（3）傳送帶的速度大于等于10$\sqrt{3.2}$m/s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體從A運(yùn)動(dòng)到B需要的時(shí)間最短．

點(diǎn)評 從此例題可以總結(jié)出，皮帶傳送物體所受摩擦力可能發(fā)生突變，不論是其大小的突變，還是其方向的突變，都發(fā)生在物體的速度與傳送帶速度相等的時(shí)刻．