【題目】如圖1所示,兩物塊A、B套在水平粗糙的CD桿上,并用不可伸長的輕繩連接,整個裝置能繞過CD中點的軸OO1轉(zhuǎn)動,已知兩物塊質(zhì)量相等均為m,桿CD對物塊A、B的最大靜摩擦力大小相等且動摩擦系數(shù)為μ.開始時繩子處于自然長度(繩子恰好伸直但無彈力),物塊B到OO1軸的距離為2L,物塊A到OO1軸的距離為L,現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動,使轉(zhuǎn)速逐漸增大,求:

(1)當(dāng)B的摩擦力達(dá)到最大值的時候,角速度是多少?
(2)當(dāng)A的摩擦力為0的是時候,角速度是多少?
(3)當(dāng)AB即將滑動的時候,角速度是多少?
(4)裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動,試通過計算在圖2坐標(biāo)圖中畫出A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關(guān)系圖象.
(5)當(dāng)AB即將滑動時,若把繩剪斷,請判斷A和B是否還能與桿保持相對靜止.

【答案】
(1)

解:開始時,繩子的拉力為零,由于B的轉(zhuǎn)動半徑大于A的轉(zhuǎn)動半徑,故B需要的向心力大于A(AB兩物體質(zhì)量均為m),故B先達(dá)到最大靜摩擦力,根據(jù)牛頓第二定律可知:

μmg=mω122L,

解得:ω1=

答:當(dāng)B的摩擦力達(dá)到最大值的時候,角速度是


(2)

根據(jù)牛頓第二定律,

對A有:T=mω22L

對B有:T+μmg=mω222L

聯(lián)立解得:ω2=

答:當(dāng)A的摩擦力為0的是時候,角速度是


(3)

當(dāng)角速度增大時,AB即將滑動時(B沿半徑向外滑動,A沿半徑向里滑動),此時A受到的摩擦力為μmg,方向沿半徑向外,則對A有:

T′﹣μmg=m L

此時B受到的摩擦力為μmg,方向沿半徑向里,對B有:

T′+μmg=m 2L

聯(lián)立以上兩式得:ω3=

T′=3μmg

答:當(dāng)AB即將滑動的時候,角速度是


(4)

通過以上計算,可知當(dāng)角速度為 時,B達(dá)到了就大靜摩擦力,為μmg,方向指向轉(zhuǎn)軸,此時A的摩擦力為 ,方向指向轉(zhuǎn)軸;

當(dāng)角速度為 時,B的靜摩擦力為μmg,方向指向轉(zhuǎn)軸,此時A的摩擦力為0;

當(dāng)角速度為 時,B的靜摩擦力為μmg,方向指向轉(zhuǎn)軸,此時A的摩擦力大小為μmg,方向背向轉(zhuǎn)軸;

A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關(guān)系圖象如下圖所示


(5)

由第(3)可知,當(dāng)AB都將要滑動時,繩子的拉力為T′=3μmg

此時A的向心力為:fA=T′﹣μmg=2μmg

此時B的向心力為:fB=T′+μmg=4μmg

若把繩子剪斷,桿對AB能產(chǎn)生的最大摩擦力為μmg,所以AB均不能與桿保持靜止.

答:當(dāng)AB即將滑動時,若把繩剪斷,A和B均不能與桿保持相對靜止


【解析】(1)先分析AB兩物體誰先能達(dá)到最大靜摩擦力,并以此物體為研究對象,進(jìn)行受力分析,結(jié)合牛頓第二定律即可得知此時的角速度(2)對AB分別利用牛頓第二定律列式,聯(lián)立可得知當(dāng)A的摩擦力為0的是時候的角速度(3)當(dāng)AB即將滑動的時候,分別對AB進(jìn)行受力分析,AB分別利用牛頓第二定律列式,聯(lián)立可得知此時的角速度(4)結(jié)合前三問的解答,可畫出A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關(guān)系圖象(5)結(jié)合(3)的解答,先計算出此時AB兩物體的向心力,當(dāng)繩子剪斷后,結(jié)合此時桿對AB能提供的最大靜摩擦,可得知A和B是否還能與桿保持相對靜止
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解向心力的相關(guān)知識,掌握向心力總是指向圓心,產(chǎn)生向心加速度,向心力只改變線速度的方向,不改變速度的大;向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運動的質(zhì)點受力情況時,千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力.

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