Question

19．如圖所示，質(zhì)量為m的滑塊從傾角θ=45°的固定光滑斜面的頂端A由靜止滑下，然后無能量損失地滑上粗糙水平面BC．COD是半徑為R的光滑半圓軌道，其中COD是直徑且與水平面垂直，滑塊經(jīng)過半圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力大小F_N=3mg（g為重力加速度）．已知水平BC的長(zhǎng)度$\overrightarrow{BC}$=4R，滑塊與水平面BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.6，滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)，空氣阻力不計(jì)．
（1）求斜面頂端A到水平面BC的高度h；
（2）請(qǐng)通過計(jì)算判斷滑塊能否垂直斜面撞在斜面的底端B；
（3）若改變高度h，使滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)恰好對(duì)軌道無壓力，求滑塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)滑塊的支持力大小F．

Answer 1

分析 （1）先分析滑塊經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的受力情況，由牛頓第二定律求得滑塊經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度，再對(duì)從開始到D點(diǎn)的整個(gè)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，可求得h．
（2）滑塊離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律分析滑塊能否垂直斜面撞在斜面的底端B．
（3）先由牛頓第二定律求得滑塊經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度，再C點(diǎn)到D點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律求出滑塊經(jīng)過C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)，由向心力公式求軌道對(duì)滑塊的支持力大小F．

解答 解：（1）在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
mg+F_N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由題有：F_N=3mg
解得：v_D=2$\sqrt{gR}$
對(duì)從開始到D點(diǎn)的整個(gè)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理得：
mg（h-2R）-μmg$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
結(jié)合 $\overrightarrow{BC}$=4R
聯(lián)立解得：h=6.4R
（2）滑塊離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)能落在B點(diǎn)，則有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Dt
解得：x=4R=$\overrightarrow{BC}$，說明假設(shè)成立．
滑塊落B點(diǎn)時(shí)，速度與水平方向的夾角為：
tanα=$\frac{gt}{{v}_{D}}$=$\frac{g•\sqrt{\frac{4R}{g}}}{2\sqrt{gR}}$=1，則 α=45°
根據(jù)幾何關(guān)系知，滑塊能垂直斜面撞在斜面的底端B．
（3）設(shè)滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)恰好對(duì)軌道無壓力時(shí)速度為v_D′，則有：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{′2}}{R}$
從C到D，由機(jī)械能守恒定律有：
2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F=6mg
答：（1）斜面頂端A到水平面BC的高度h是6.4R；
（2）滑塊能垂直斜面撞在斜面的底端B；
（3）滑塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)滑塊的支持力大小F是6mg．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)過程，把握每個(gè)過程和狀態(tài)的物理規(guī)律是關(guān)鍵，要明確向心力的來源，運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)要注意選擇研究的過程．