Question

13．一轉(zhuǎn)動(dòng)裝置如圖所示，四根輕桿OA、OC、AB和BC與兩小球以一個(gè)小環(huán)通過(guò)鉸鏈連接．輕桿長(zhǎng)均為l=0.5m，球和小環(huán)的質(zhì)量均為m=1kg，O端固定在豎直的輕質(zhì)轉(zhuǎn)軸上，套在轉(zhuǎn)軸上的輕質(zhì)彈簧連接在O與小環(huán)之間，原長(zhǎng)為L(zhǎng)₀=1m，裝置靜止時(shí)彈簧長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.8m，轉(zhuǎn)動(dòng)該裝置并緩慢增大轉(zhuǎn)速，小環(huán)緩慢下降．已知輕桿產(chǎn)生的作用力沿桿方向，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦和空氣阻力，重力加速度為g=10m/s²，求：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k；
（2）若去掉桿OA和OC，桿AB與轉(zhuǎn)軸的夾角為53°時(shí)裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω以及此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度（sin53°=0.8，cos53°=0.6）．

Answer 1

分析 （1）裝置靜止時(shí)，分別對(duì)小環(huán)和小球分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡，結(jié)合胡克定律求出彈簧的勁度系數(shù)；
（2）若去掉桿OA和OC，對(duì)小環(huán)分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡和胡克定律求出彈簧的長(zhǎng)度，對(duì)小球分析，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

解答 解：（1）裝置靜止時(shí)，設(shè)AB、OA桿中的彈力分別為F₁、F₂，OA桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為θ．
小環(huán)受到彈簧的彈力 F_彈1=k•x₁，
小環(huán)受力平衡：F_彈1=mg+2F₁cosθ，
小球受力平衡：F₁cosθ+F₂cosθ-mg=0；
             F₁sinθ-F₂sinθ=0，
解得：k=$\frac{2mg}{{x}_{1}}$=$\frac{2×10}{1-0.8}$N=200N/m
（2）若去掉桿OA和OC，設(shè)AB桿中的彈力分別為T(mén)，彈簧長(zhǎng)度為x．
小環(huán)受到彈簧的彈力：F_彈2=k（L₀-x）
小環(huán)受力平衡：F_彈2=mg+2Tcos53°
對(duì)小球：Tcos53°=mg； 
       Tsin53°=mω²lsin53°；
解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{lcos53°}}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$rad/s，x=0.85m
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)k是200N/m．
（2）裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω是$\frac{10\sqrt{3}}{3}$rad/s，此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度是0.85m．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律、共點(diǎn)力平衡和胡克定律的運(yùn)用，要明確當(dāng)裝置轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，抓住小環(huán)平衡，小球在豎直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行研究．