Question

18．如圖所示，兩根平行光滑的金屬導軌MN、PQ放在水平面上，左端向上彎曲，導軌間距為L，電阻不計．水平段導軌所處空間存在方向豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B．導體棒a和b的質(zhì)量均為m，電阻值分別為R_a=R，R_b=2R．．b棒放置在水平導軌上且距彎曲軌道底部L_o處，a棒在彎曲軌道上距水平面h高度處由靜止釋放．運動過程中導軌棒和導軌接觸良好且始終和導軌垂直，重力加速度為g．求：
（1）a棒剛進入磁場時受到的安培力？
（2）從a棒開始下落到最終穩(wěn)定的過程中，a棒上產(chǎn)生的內(nèi)能？
（3）當a、b棒運動最終穩(wěn)定時，a、b棒間距？

Answer 1

分析 （1）a棒下滑過程機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律列式求出a棒剛進入水平軌道時的速度；根據(jù)切割感應電動勢公式E=BLv求解感應電動勢，根據(jù)歐姆定律求解感應電流，根據(jù)安培力公式F=BIL求解安培力，根據(jù)右手定則判斷感應電流方向，根據(jù)左手定則判斷安培力方向；
（2）a棒進入磁場受，兩個導體棒受安培力大小相等、方向相反，故兩個導體棒系統(tǒng)水平方向動量守恒，根據(jù)動量守恒定律列式求解穩(wěn)定時兩棒的速度大��；對整個運動過程分析，a棒減小的重力勢能轉(zhuǎn)化為相同的動能和電能，根據(jù)能量守恒定律列式求解a棒上產(chǎn)生的內(nèi)能．
（3）從a棒開始進入磁場至最終穩(wěn)定速度，對兩棒分別運用動量定理列式，結(jié)合速度與位移的關系求解a、b棒間距．

解答 解：（1）設a棒剛進入磁場時的速度為v，從開始下落到剛進入磁場，由機械能守恒定律有
  mgh=$\frac{1}{2}$mv²
a棒切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢 E=BLv
根據(jù)閉合電路歐姆定律得  I=$\frac{E}{R+2R}$
a 棒受到的安培力 F=BIL
聯(lián)立得 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{3R}$，方向水平向左．
（2）a、b 棒均受安培力作用，大小相等，方向相反，所以a棒和b棒組成的系統(tǒng)動量守恒．設兩棒最終穩(wěn)定速度為v₁，取水平向右為正方向，由動量守恒定律有
   mv=2mv₁
a棒產(chǎn)生內(nèi)能為E_a，b棒產(chǎn)生內(nèi)能為E_b
根據(jù)能量守恒：$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$•2mv₁²+E_a+E_b
又 E_b=2E_a
解得a棒上產(chǎn)生的內(nèi)能  E_a=$\frac{1}{6}$mgh
（3）a棒受安培力作用，從開始進入磁場至最終穩(wěn)定速度，由動量定理：
-B I _平均 Lt=mv₁-mv--------------①
又  I_平均t=q---------------------------②
q為通過a棒的總電量，聯(lián)立①②得   q=$\frac{mv}{2BL}$--------------------------③
分析a、b棒運動得：E_平均=BLv_a平均-BLv_b平均-------------------------④
而 I_平均=$\frac{{E}_{平均}}{3R}$---------------------------------------⑤
x_a平均=v_平均t       x_b平均=v_平均 t
q=$\frac{△Φ}{3R}$=$\frac{BL（{x}_{a}-{x}_）}{3R}$-------------------------------------------⑥
則由③⑥式得：x_a-x_b=$\frac{3Rmv}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
最終a、b棒間距為 x_ab=L₀-（x_a-x_b）------------------------⑦
聯(lián)立解得 x_ab=L₀-$\frac{3Rm\sqrt{2gh}}{2{B}^{2}{L}^{2}}$-------------------------⑧
答：
（1）a棒剛進入磁場時受到的安培力為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{3R}$，方向水平向左．
（2）從a棒開始下落到最終穩(wěn)定的過程中，a棒上產(chǎn)生的內(nèi)能是$\frac{1}{6}$mgh．
（3）當a、b棒運動最終穩(wěn)定時，a、b棒間距是L₀-$\frac{3Rm\sqrt{2gh}}{2{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 本題是雙滑桿問題，關鍵是要正確分析兩棒的運動情況，明確a棒進入磁場后系統(tǒng)的動量守恒，還要對整個運動過程結(jié)合能量守恒定律列式分析．