Question

15．一百年前，愛因斯坦在創(chuàng)立了廣義相對論后不久就提出了引力波存在的預(yù)言．中國科學(xué)家對中國引力波研究的計(jì)劃包括中科院提出的“空間太極計(jì)劃”，中科院高能物理研究所主導(dǎo)的“阿里實(shí)驗(yàn)計(jì)劃”和中山大學(xué)領(lǐng)銜的“天琴計(jì)劃”．其中“天琴計(jì)劃”從2016年到2035年分四階段進(jìn)行，將向太空發(fā)射三顆完全相同的衛(wèi)星（SC1、SC2、SC3 ）構(gòu)成一個(gè)等邊三角形陣列，地球恰處于三角形的中心，衛(wèi)星將在以地球?yàn)橹行�、高度約10萬公里的軌道上運(yùn)行，針對確定的引力波源進(jìn)行引力波探測．如圖所示，這三顆衛(wèi)星在太空中的分列圖類似樂器豎琴，故命名為“天琴計(jì)劃”．已知地球同步衛(wèi)星的高度約為36萬公里．以下說法正確的是（　　）

• A． 三顆衛(wèi)星具有相同大小的加速度
• B． 三顆衛(wèi)星的線速度比月球繞地球運(yùn)動的線速度大
• C． 三顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相同
• D． 若知道引力常量G及三顆衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動周期T，則可估算出地球的密度

Answer 1

分析 同步衛(wèi)星的軌道半徑約為42400公里，根據(jù)萬有引力定律結(jié)合牛頓第二定律判斷加速度的大小是否相等，根據(jù)人造衛(wèi)星的線速度與軌道半徑的關(guān)系式，比較三顆衛(wèi)星的線速度與月求繞地球運(yùn)動的線速度大小，要計(jì)算地球質(zhì)量，需要知道地球半徑

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，解得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，由于三顆衛(wèi)星到地球的距離相等，則它們的加速度大小相等，故A正確；
B、三顆衛(wèi)星距地球的距離比月球到地球的距離小得多，根據(jù)$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知，三顆衛(wèi)星線速度比月球繞地球運(yùn)動的線速度大，故B正確；
C、由于三顆衛(wèi)星的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的半徑，根據(jù)$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，故三顆衛(wèi)星的周期小于地球同步衛(wèi)星的周期即小于地球的自轉(zhuǎn)周期，故C錯(cuò)誤；
D、若知道萬有引力常量G及三顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)周期T，根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，可解得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，但因地球的半徑未知，故不能估算出地球的密度，故D錯(cuò)誤；
故選：AB

點(diǎn)評 此題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是知道三顆衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力來自地球的萬有引力，根據(jù)公式求解加速度、速度及地球質(zhì)量的表達(dá)式即可進(jìn)行討論，該題材料較新穎，意在考查學(xué)生提取信息、利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．