Question

如圖所示，兩根不計(jì)電阻的金屬導(dǎo)線MN與PQ 放在水平面內(nèi)，MN是直導(dǎo)線，PQ的PQ₁段是直導(dǎo)線，Q₁Q₂段是弧形導(dǎo)線，Q₂Q₃段是直導(dǎo)線，MN、PQ₁、Q₂Q₃相互平行，M、P間接入一個(gè)阻值R=0.25Ω的電阻．一根質(zhì)量為1.0kg不計(jì)電阻的金屬棒AB能在MN、PQ上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，金屬棒始終垂直于MN，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向下．金屬棒處于位置（I）時(shí)，給金屬棒一個(gè)向右的速度v₁=4 m/s，同時(shí)方向水平向右的外力F₁=3N作用在金屬棒上使金屬棒向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)金屬棒運(yùn)動(dòng)到位置（Ⅱ）時(shí)，外力方向不變，大小變?yōu)镕₂，金屬棒向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t=2s到達(dá)位置（Ⅲ）．金屬棒在位置（I）時(shí)，與MN、Q₁Q₂相接觸于a、b兩點(diǎn)，a、b的間距L₁=1 m，金屬棒在位置（Ⅱ）時(shí)，棒與MN、Q₁Q₂相接觸于c、d兩點(diǎn)．已知s₁=7.5m．求：
（1）金屬棒向右勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大��？
（2）c、d兩點(diǎn)間的距離L₂=？
（3）外力F₂的大小？
（4）金屬棒從位置（I）運(yùn)動(dòng)到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，電阻R上放出的熱量Q=？

Answer 1

分析：（1）由題，金屬棒從位置（I）到位置（Ⅱ）的過(guò)程中，做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度不變，根據(jù)E=BLv、I=

E

R

、F_安=BIL結(jié)合求出金屬棒在位置I時(shí)受到的安培力大小，根據(jù)牛頓第二定律可求出加速度a．
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

v

2 2

-

v

2 1

=2as1求出金屬棒在位置（Ⅱ）時(shí)的速度v₂，由于棒做勻減速運(yùn)動(dòng)，安培力大小不變，由安培力的表達(dá)式F=

B2L2v

R

求解L₂．
（3）金屬棒從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)₂與安培力大小相等．
（4）金屬棒從位置（I）運(yùn)動(dòng)到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，外力做功提供的能量轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能和內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解電阻R上放出的熱量Q．

解答：解：（1）金屬棒從位置（I）到位置（Ⅱ）的過(guò)程中，做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度不變，方向向左，設(shè)大小為a，在位置I時(shí)，a、b間的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁，感應(yīng)電流為I₁，受到的安培力為F_安1，則有
   E₁=BL₁v₁，I1=

E1

R

，F(xiàn)_安1=BI1L1=

B2 L 2 1 υ1

R

…①
聯(lián)立解得  F_安1=4N…②
根據(jù)牛頓第二定律得
  F_安1-F₁=ma…③
代入解得，a=1m/s²…④
（2）設(shè)金屬棒在位置（Ⅱ）時(shí)速度為v₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得

υ

2 2

-

υ

2 1

=-2as₁…⑤
解得v₂=1m/s…⑥
由于金屬棒在（I）和（II）之間做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，即加速度大小保持不變，外力F₁恒定，所以AB棒受到的安培力不變即
  F_安1=F_安2

B2 L 2 1 υ1

R

=

B2 L 2 2 υ2

R

…⑦
解得  L2=

v1 v2

L1=2m…⑧
（3）金屬棒從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小與位置（Ⅱ）時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小相等，安培力與位置（Ⅱ）時(shí)的安培力大小相等，所以
  F₂=F_安2=4N…⑨
（4）設(shè)位置（II）和（Ⅲ）之間的距離為s₂，則
   s₂=v₂t=2 m…⑩
設(shè)從位置（I）到位置（Ⅱ）的過(guò)程中，外力做功為W₁，從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，外力做功為W₂，則
 W₁=F₁s₁=22.5 J
 W₂=F₂s₂=8 J
根據(jù)能量守恒得W₁+W₂+

1

2

m

υ

2 1

=

1

2

m

υ

2 2

+Q
解得Q=38J
答：
（1）金屬棒向右勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為1m/s²．
（2）c、d兩點(diǎn)間的距離L₂為2m．
（3）外力F₂的大小為4N
（4）金屬棒從位置（I）運(yùn)動(dòng)到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，電阻R上放出的熱量Q為38J．

點(diǎn)評(píng)：本題是抓住勻減速運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：合力一定，加速度一定，分析棒的受力情況，同時(shí)，要掌握安培力的經(jīng)驗(yàn)公式F=

B2L2v

R

，從力和能兩個(gè)方面研究本題．