Question

12．如圖所示，xOy，平面為豎直平面，其中：x軸沿水平方向．第一象限內(nèi)y軸和過(guò)原點(diǎn)且與x軸正方向成45°角的直線之間存在一有界勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，方向豎直向下．第二象限內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，E₁方向 與y軸正方向成45°角斜向上，已知兩個(gè)象限內(nèi)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小均為E． 有一質(zhì)量為m，電荷量為+q 的帶電小球在水平細(xì)線的拉力作用下恰好靜止在點(diǎn)[一l，（3$\sqrt{2}$-3）l]處．現(xiàn)剪斷細(xì)線，小球從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，從 E₁進(jìn)入E₂，并從E₂邊界上A點(diǎn)垂直穿過(guò)，最終打在 x軸上的D點(diǎn)，已知重力加速度為g，試求
（1）場(chǎng)強(qiáng)大小E；
（2）小球在電場(chǎng)E₂中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（3）A點(diǎn)的位置坐標(biāo)；
（4）到達(dá)D點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）小球在第二象限內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)，知合力的方向水平向右，根據(jù)豎直方向上平衡得出重力與電場(chǎng)力的關(guān)系，從而求解電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；
（2）小球在做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）對(duì)第二象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理得出進(jìn)入第一象限的初速度，結(jié)合類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，通過(guò)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出帶電小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的位置坐標(biāo)．
（4）對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，結(jié)合重力和電場(chǎng)力的關(guān)系求出帶電小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)時(shí)的動(dòng)能．

解答 解：（1）設(shè)小球所受的重力為G，小球在第二象限內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)，知小球合力水平向右，豎直方向上合力為零．
有：G=qEsin45°．
解得：E=$\frac{\sqrt{2}mg}{q}$；
（2）小球在第二象限做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度的大小為：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{mg}{m}$=g；
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，則有：小球在電場(chǎng)E₂中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
（3）設(shè)進(jìn)入第一象限的初速度為v₀
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，${v}_{0}^{2}=2gl$，則有：v₀=$\sqrt{2gl}$
小球在第一象限內(nèi)，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向上有：y=$\frac{1}{2}$at′²，
a=$\frac{qE+mg}{m}=（\sqrt{2}+1）g$；
因從E₂邊界上A點(diǎn)垂直穿過(guò)，則有：v_y=v₀=at′
水平方向上有：x=v₀t′
聯(lián)立各式解得：t′=$\frac{\sqrt{2gl}}{（\sqrt{2}+1）g}$
因此有：x=$\frac{2l}{\sqrt{2}+1}$=2（$\sqrt{2}$-1）l；
y=$\frac{l}{\sqrt{2}+1}$=$（\sqrt{2}-1）l$．
那么A點(diǎn)的位置坐標(biāo)（2（$\sqrt{2}$-1）l，（3-$\sqrt{2}$）l）；
（4）對(duì)從P到D全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理得：
qElcos45°+（qE+mg）$\frac{l}{\sqrt{2}+1}$+mg$\frac{2l}{\sqrt{2}+1}$=E_kD
解得：E_kD=2$\sqrt{2}$mgl．
答：（1）場(chǎng)強(qiáng)大小$\frac{\sqrt{2}mg}{q}$；
（2）小球在電場(chǎng)E₂中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$\sqrt{\frac{2l}{g}}$；
（3）A點(diǎn)的位置坐標(biāo)（2（$\sqrt{2}$-1）l，（3-$\sqrt{2}$）l）；
（4）到達(dá)D點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能2$\sqrt{2}$mgl．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球在第二象限內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，合力水平向右，在第一象限內(nèi)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合動(dòng)能定理和牛頓第二定律進(jìn)行求解