【題目】已知函數(shù)，，且點處取得極值．

（Ⅰ）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：．

【題目】已知為圓上一點，過點作軸的垂線交軸于點，點滿足

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設(shè)為直線上一點，為坐標原點，且，求面積的最小值.

【題目】在某外國語學校舉行的(高中生數(shù)學建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績分布在,分數(shù)在以上(含)的同學獲獎．按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示．

(Ⅰ)求的值,并計算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯誤的概率不超過的前提下能否認為“獲獎與女生、男生有關(guān)”．

附表及公式：

其中,．

【題目】如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，現(xiàn)有如下四個結(jié)論：

；平面；

三棱錐的體積為定值；異面直線所成的角為定值，

其中正確結(jié)論的序號是______．

（1）設(shè)1箱零件人工檢驗總費用為元，求的分布列；

（2）除了人工檢驗方法外還有機器檢驗方法，機器檢驗需要對每箱的每個零件作檢驗，每個零件的檢驗費為1.6元.現(xiàn)有1000箱零件需要檢驗，以檢驗總費用的數(shù)學期望為依據(jù)，在人工檢驗與機器檢驗中，應(yīng)該選擇哪一個？說明你的理由.

【題目】已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于，兩點.

（1）若過點，證明：；

（2）若，點在曲線上，，的中點均在拋物線上，求面積的取值范圍.

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，當時，證明：；

（2）若當時，，求的取值范圍.

【題目】2020年寒假期間新冠肺炎肆虐，全國人民眾志成城抗擊疫情.某市要求全體市民在家隔離，同時決定全市所有學校推遲開學.某區(qū)教育局為了讓學生“停課不停學”，要求學校各科老師每天在網(wǎng)上授課，每天共280分鐘，請學生自主學習.區(qū)教育局為了了解高三學生網(wǎng)上學習情況，上課幾天后在全區(qū)高三學生中采取隨機抽樣的方法抽取了100名學生進行問卷調(diào)查，為了方便表述把學習時間在分鐘的學生稱為類，把學習時間在分鐘的學生稱為類，把學習時間在分鐘的學生稱為類，隨機調(diào)查的100名學生學習時間的人數(shù)頻率分布直方圖如圖所示：以頻率估計概率回答下列問題：

（1）求100名學生中，，三類學生分別有多少人？

（2）在，，三類學生中，按分層抽樣的方法從上述100個學生中抽取10人，并在這10人中任意邀請3人電話訪談，求邀請的3人中是類的學生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望；

（3）某校高三（1）班有50名學生，某天語文和數(shù)學老師計劃分別在19:00—19:40和20:00—20:40在線上與學生交流，由于受校園網(wǎng)絡(luò)平臺的限制，每次只能30個人同時在線學習交流.假設(shè)這兩個時間段高三（1）班都有30名學生相互獨立地隨機登錄參加學習交流.設(shè)表示參加語文或數(shù)學學習交流的人數(shù)，當為多少時，其概率最大.

【題目】設(shè)以的邊為長軸且過點的橢圓的方程為橢圓的離心率，面積的最大值為，和所在的直線分別與直線相交于點，.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)與的外接圓的面積分別為，，求的最小值.

【題目】如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，側(cè)面為正方形，平面平面.點為線段的中點，點在線段上，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.