Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由，可得.令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值為，可得，所以在上單調(diào)遞增，據(jù)此即可證明結(jié)果.

（2）.令，，可得.令，，，，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.

（1），，，.

令，.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

的最小值為，所以，即，

所以在上單調(diào)遞增，所以，故.

（2）.

令，，

.

令，，，，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即.

①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以滿足條件.

②當(dāng)，即時(shí)，，顯然不滿足條件.

③當(dāng)，即時(shí)，若，，

令，，，，

故存在，使時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，

即，，故不滿足條件.

綜上，的取值范圍是.