已知向量

m

=（

3

sinx，sinx），

n

=（cosx，sinx），函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（A）=

3

2

，a=2，b+c=3，求△ABC的面積．

已知函數(shù)f(x)=

1

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）若實(shí)數(shù)m，n滿足m＞0，n＞0，求證：nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁∈（0，1]，求證：f（x₁）-f（x₂）≥-

3

4

+ln2；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+2ln

ax+2

6 x

，對(duì)于任意a∈（2，4），總存在x∈[

3

2

，2]，使g（x）＞k（4-a²）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為（

2

，0），離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，求證：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求△OAB面積的最大值．

已知函數(shù)f（x）=e^x-1-x．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時(shí)，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間．設(shè)g（x）=（f′（x）+1）（x²-1），試問函數(shù)g（x）在（1，+∞）上是否存在保值區(qū)間？若存在，請(qǐng)求出一個(gè)保值區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說明理由．

在一段筆直的斜坡AC上豎立兩根高16米的電桿AB，CD，過B，D架設(shè)一條10萬(wàn)伏高壓電纜線．假設(shè)電纜線BD呈拋物線形狀，現(xiàn)以B為原點(diǎn)，AB所在直線為Y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)視線AD恰與電纜線相切于點(diǎn)D（m，n）．
（1）求拋物線BD的方程；
（2）根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定，高壓電纜周圍10米內(nèi)為不安全區(qū)域，問當(dāng)有一個(gè)身高1.8米的人在這段斜坡上走動(dòng)時(shí)，這根高壓電纜是否會(huì)對(duì)這個(gè)人的安全構(gòu)成威脅？

如圖，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)都為3

2

，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且

PM

PA

=

BN

BD

=

1

3

．
（1）求證：MN⊥AD；
（2）求MN與平面PAD所成角的正弦值．

已知長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與長(zhǎng)方體的兩條棱所成角為45°和60°，且體積為4，求長(zhǎng)方體的表面積．

在直三棱柱（側(cè)面垂直于底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AA₁記線段CD、A₁B₁的中心分別是P、E連接AE、BP，得到如圖所示的幾何體
（1）若AA₁=a，圖甲給出了異面直線之間的距離的一種算法框圖（其中異面直線的公垂線是指兩異面直線都垂直且相交的直線）請(qǐng)利用這種方法求異面直線AE和BP之間的距離；
（2）若AA₁=2，在線段A₁P上是否存在一點(diǎn)F，使得平面AFB⊥平面A₁BP？若存在，指出點(diǎn)F的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若AA₁=a，在線段A₁C上有一M，過點(diǎn)M做垂直于平面A₁ACC₁的直線l，與直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的其他側(cè)面相交于N，過CM=x，MN=y，求函數(shù)y=f（x）的解析式，并據(jù)此求出線段MN的長(zhǎng)度最大值．

如圖所示，在直角坐標(biāo)平面上的矩形OABC中，|OA|=2，|OC|=

3

，點(diǎn)P，Q滿足

OP

=λ

OA

，

AQ

=1(1-λ)

AB

(λ∈R)，點(diǎn)D是C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，直線DP與CQ相交于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若過點(diǎn)F（-1，0）且斜率不為零的直線與點(diǎn)M的軌跡相交于G，H兩點(diǎn)，直線AG和AH與定直線l：x=-4分別相交于點(diǎn)R，S，試判斷以RS為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)F？說明理由．