Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1-x．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）當函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應函數(shù)值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間．設g（x）=（f′（x）+1）（x²-1），試問函數(shù)g（x）在（1，+∞）上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）假設函數(shù)g（x）存在保值區(qū)間[a，b]，可得方程（x²-1）e^x=x有兩個大于1的相異實根．設φ（x）=（x²-1）e^x-x（x＞1），證明φ（x）在（1，+∞）上單增，可得φ（x）在區(qū)間（1，+∞）上至多有一個零點，與方程（x-1）²e^x=x有兩個大于1的相異實根矛盾，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）求導數(shù)，得f'（x）=e^x-1．
令f'（x）=0，解得x=0．                 …（2分）
當x＜0時，f'（x）＜0，所以f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
當x＞0時，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
故f（x）在x=0處取得最小值f（0）=0．  …（6分）
（Ⅱ）函數(shù)g（x）在（1，+∞）上不存在保值區(qū)間，證明如下：
假設函數(shù)g（x）存在保值區(qū)間[a，b]，
由g（x）=（x²-1）e^x得：g'（x）=（x²+2x-1）e^x
因x＞1時，g'（x）＞0，所以g（x）為增函數(shù)，所以

g(a)=(a2-1)ea=a g(b)=(b2-1)eb=b

即方程（x²-1）e^x=x有兩個大于1的相異實根  …（9分）
設φ（x）=（x²-1）e^x-x（x＞1），則φ'（x）=（x²+2x-1）e^x-1
因x＞1，φ'（x）＞0，所以φ（x）在（1，+∞）上單增
所以φ（x）在區(qū)間（1，+∞）上至多有一個零點      …（12分）
這與方程（x-1）²e^x=x有兩個大于1的相異實根矛盾
所以假設不成立，即函數(shù)h（x）在（1，+∞）上不存在保值區(qū)間．…（13分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查新定義，考查小時分析解決問題的能力，屬于中檔題．