橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，

2

2

）．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l₁與l₂均不在坐標(biāo)軸上，l₁與橢圓M交于A，C兩點(diǎn)，l₂與橢圓M交于B，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD面積的最小值．

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F（1，0），A、B是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且△APB面積的最大值為2

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線AP與直線x=2交于點(diǎn)D，證明：以BD為直徑的圓與直線PF相切．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，且點(diǎn)（

2

，

6

2

）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A，B分別是橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓C上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交于點(diǎn)M，設(shè)直線OM，PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值．

已知x、y均為正值，且滿足x+2y+xy=7，以x為自變量，試寫(xiě)出關(guān)于x函數(shù)解析式，并求出定義域．

如圖，兩條相交線段AB、PQ的四個(gè)端點(diǎn)都在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上，其中，直線AB的方程為x=m，直線PQ的方程為y=

1

2

x+n．
（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；
（Ⅱ）探究：是否存在常數(shù)m，當(dāng)n變化時(shí)，恒有∠BAP=∠BAQ？

如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點(diǎn)，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點(diǎn)D和E．
（Ⅰ）求證AB•PC=PA•AC
（Ⅱ）求AD•AE的值．

過(guò)點(diǎn)P（1，-2）作直線與曲線

x=2 2 cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|•|PB|=

2

3

，求該直線的方程．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M（0，

3

），N（0，-

3

），平面上一動(dòng)點(diǎn)P滿足|PM|+|PN|=4，記點(diǎn)P的軌跡為P．
（1）求軌跡P的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)E（0，1）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l₁：y=kx+b₁與軌跡P相交于A，B兩點(diǎn)，若y軸上存在一點(diǎn)Q，使得直線QA，QB關(guān)于y軸對(duì)稱，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）是否存在不過(guò)點(diǎn)E（0，1），且不垂直坐標(biāo)軸的直線l，它與軌跡P及圓E：x²+（y-1）²=9從左到右依次交于C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)，且滿足

.

ED

-

.

EC

=

.

EG

-

.

EF

？若存在，求出當(dāng)△OCG的面積S取得最小值時(shí)k²的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦距為2

7

，其一條漸近線的傾斜角為θ，且tanθ=

3

2

．以雙曲線C的實(shí)軸為長(zhǎng)軸，虛軸為短軸的橢圓記為E．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是橢圓E的左頂點(diǎn)，P、Q為橢圓E上異于點(diǎn)A的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線AP、AQ的斜率之積為-

1

4

，問(wèn)直線PQ是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．

在學(xué)習(xí)完統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)后，兩位同學(xué)對(duì)所在年級(jí)的1200名同學(xué)一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)作抽樣調(diào)查，兩位同學(xué)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取100名學(xué)生的成績(jī)，并將所選的數(shù)學(xué)成績(jī)制成如下統(tǒng)計(jì)表，設(shè)本次考試的最低期望分?jǐn)?shù)為90分，優(yōu)等生最低分130分，并且考試成績(jī)分?jǐn)?shù)在[85，90）的學(xué)生通過(guò)自身努力能達(dá)到最低期望分?jǐn)?shù)．
（Ⅰ）求出各分?jǐn)?shù)段的頻率并作出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）用所抽學(xué)生的成績(jī)?cè)诟鱾�(gè)分?jǐn)?shù)段的頻率表示概率，請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到最低期望的學(xué)生分?jǐn)?shù)和優(yōu)等生人數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)考試成績(jī)?cè)赱85，90）的學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢?0，81，83，84，86，89，從分?jǐn)?shù)在[85，90）的學(xué)生中抽取2人出來(lái)檢查數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，求恰好有1名學(xué)生通過(guò)自身努力達(dá)到最低期望分?jǐn)?shù)的概率．

分?jǐn)?shù)段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	9	6	12	18	21	16	12	6
頻率