Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦距為2

7

，其一條漸近線的傾斜角為θ，且tanθ=

3

2

．以雙曲線C的實(shí)軸為長(zhǎng)軸，虛軸為短軸的橢圓記為E．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是橢圓E的左頂點(diǎn)，P、Q為橢圓E上異于點(diǎn)A的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線AP、AQ的斜率之積為-

1

4

，問(wèn)直線PQ是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計(jì)算a，b，c．注意焦點(diǎn)在x軸上的漸近線方程為y=±

b

a

x．
（Ⅱ）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程y=kx+m，再聯(lián)立橢圓方程和直線方程，設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)kAP•kAQ=-

1

4

，找出k和m的關(guān)系，從而求定點(diǎn)；當(dāng)斜率不存在時(shí)單獨(dú)討論．

解答： 解：（Ⅰ）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距2c=2

7

，則c=

7

，∴a²+b²=7，①
漸近線方程y=±

b

a

x，由題知tanθ=

b

a

=

3

2

，②
由①②解得a²=4，b²=3，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
又A（-2，0），由題知kAP•kBQ=

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=-

1

4

，
則（x₁+2）（x₂+2）+4y₁y₂=0，且x₁，x₂≠-2，
則x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4+4（kx₁+m）（kx₂+m）
=(1+4k2)x1x2+(2+4km)(x1+x2)+4m2+4
=

(1+4k2)(4m2-12)

3+4k2

+(2+4km)

-8km

3+4k2

+4m2+4=0
則m²-km-2k²=0，
∴（m-2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=-k．
當(dāng)m=2k時(shí)，直線PQ的方程為y=kx+2k=k（x+2）．
此時(shí)直線PQ過(guò)定點(diǎn)（-2，0），顯然不適合題意．
當(dāng)m=-k時(shí)，直線PQ的方程為y=kx-k=k（x-1），此時(shí)直線PQ過(guò)定點(diǎn)（1，0）．
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，若直線PQ過(guò)定點(diǎn)（1，0），P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)，滿足kAP•kAQ=-

1

4

．
綜上，直線PQ過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐曲線和直線位置關(guān)系的常見(jiàn)類型，都是通過(guò)設(shè)而不求的方法，聯(lián)立方程組，再由題目中給定的等式，尋求量與量之間的關(guān)系，從而求得定點(diǎn)．另外，直線的斜率是否存在也是需要討論的情況．這在高考中是�？碱}型．