Question

過點P（1，-2）作直線與曲線

x=2 2 cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）相交于A，B兩點，且|PA|•|PB|=

2

3

，求該直線的方程．

Answer 1

考點：圓的參數(shù)方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：先求得曲線的直角坐標方程，設(shè)直線的傾斜角為α，可得直線的參數(shù)方程，再把此參數(shù)方程代入①，利用判別式大于零求得 cosα＜0，或tanα＞2．由題意可得，t₁•t₂=|PA|•|PB|=

1

cos2α+2sin2α

=

2

3

，由此求得cosα 的值，可得α的值，從而求得斜率，再用點斜式求直線的方程．

解答： 解：曲線

x=2 2 cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）即

x2

8

+

y2

4

=1①．
設(shè)直線的傾斜角為α，則直線的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=-2+tsinα

，代入①可得
（cos²α+2sin²α）t²+（2cosα-8sinα）t+1=0．
由判別式△=（2cosα-8sinα）²-4（cos²α+2sin²α）＞0，求得sinα＞2cosα，
∴cosα＜0，或tanα＞2．
由題意可得，t₁•t₂=

PA

•

PB

=|PA|•|PB|=

1

cos2α+2sin2α

=

2

3

，
即

1

2 -cos2α

=

2

3

，∴cosα=

2

2

（舍去），或cosα=-

2

2

，∴α=

3π

4

，
∴直線的斜率為-1，故直線的方程為 y+2=-1×（x-1），即 x+y=0．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，求直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．