學(xué)校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的考查方案：考生從6道備選題中一次隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，并規(guī)定：在抽取的3道題中，至少正確完成其中2道題便可通過考查．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都為

2

3

，且每題正確完成與否互不影響．
（1）求考生甲正確完成題目個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析比較甲、乙兩考生哪位實(shí)驗(yàn)操作能力強(qiáng)及哪位通過考查的可能性大？

已知函數(shù)f（x）=（x²-2ax+a²）lnx，a∈R，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，令F（x）=

f(x)

x+1

+x-lnx，證明：F（x）≥-e^-2，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）不存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知拋物線y²=x上相異兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=2．
（1）若AB的中垂線經(jīng)過點(diǎn)P（0，2），求直線AB的方程；
（2）若AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，求△ABM的面積的最大值．

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，點(diǎn)M、N分別是B₁C₁和A₁B₁的中點(diǎn)，AA₁=AB=BM=2，∠A₁AB=60°．
（Ⅰ）求證：BN⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB-M的余弦值．

如圖，A、B是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)，它的短軸長(zhǎng)為1，其一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于R、S兩點(diǎn)．求四邊形ARBS面積的最大值．

已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A（-3，0），且與圓B：（x-3）²+y²=64相切，點(diǎn)P的軌跡為曲線C；設(shè)Q為曲線C上（不在x軸上）的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作OQ的平行線交曲線C于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)λ，使

AM

•

AN

=λ

PQ

²總成立，若存在，求λ；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求△MNQ的面積S的最大值．

已知曲線C：

x2

m+2

+

y2

3-m

=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=2，過點(diǎn)D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）如圖，過F作兩條互相垂直的直線l₁與l₂，分別交拋物線C于A、B與D、E，設(shè)AB、DE的中點(diǎn)分別為M、N，求△FMN面積S的最小值．

若點(diǎn)A（1，2）是拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B（5，-2）的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：

PA

•

QA

為定值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P，Q與點(diǎn)A不重合，問△APQ的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知與拋物線x²=4y有相同的焦點(diǎn)的橢圓E：

y 2

a 2

+

x 2

b 2

=1（a＞b＞0）的上、下頂點(diǎn)分別為A（0，2）、B（0，-2），過（0，1）的直線與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，過C、D分別作拋物線的兩切線l₁、l₂．
（1）求橢圓E的方程并證明l₁⊥l₂；
（2）求△AMN面積的最大值．