Question

學(xué)校設(shè)計(jì)了一個實(shí)驗(yàn)學(xué)科的考查方案：考生從6道備選題中一次隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，并規(guī)定：在抽取的3道題中，至少正確完成其中2道題便可通過考查．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都為

2

3

，且每題正確完成與否互不影響．
（1）求考生甲正確完成題目個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識分析比較甲、乙兩考生哪位實(shí)驗(yàn)操作能力強(qiáng)及哪位通過考查的可能性大？

Answer 1

考點(diǎn)：概率的應(yīng)用,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）確定考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題目個數(shù)的取值，求出相應(yīng)的概率，可得考生甲正確完成題目個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）設(shè)考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題目個數(shù)為η，求出相應(yīng)的期望與方差，比較，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題目個數(shù)分別為ξ，則ξ可能取值為1，2，3，
∴P(ξ=1)=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P(ξ=3)=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

…（3分）
∴考生甲正確完成題目數(shù)的分布列為

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∴Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2…（5分）
（2）設(shè)考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題目個數(shù)為η．
∵η～B（3，

2

3

），其分布列為：P(η=k)=

C

k 3

(

2

3

)k(

1

3

)3-k，k=0，1，2，3
∴Eη=3×

2

3

=2…（6分）
∵Dξ=(1-2)2×

1

5

+(2-2)2×

3

5

+(3-2)2×

1

5

=

2

5

Dη=3×

2

3

×

1

3

=

2

3

…（8分）
∴D_ξ＜D_η
∵P(ξ≥2)=

3

5

+

1

5

=0.8，P(η≥2)=

12

27

+

8

27

≈0.74…（10分）
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）
①從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩人水平相當(dāng)；從做對題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；
②從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大，
因此，可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力強(qiáng)．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查概率知識 的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．