Question

已知曲線C：

x2

m+2

+

y2

3-m

=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=2，過點(diǎn)D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知條件利用橢圓的定義得到m+2＞3-m＞0，由此能求出m的取值范圍．
（Ⅱ）m=2時(shí)，曲線C的方程為

x2

4

+y2=1，C為橢圓，設(shè)l的方程為y=kx+4，由

x2 4 +y2=1，  y=kx+4

得（1+4k²）x²+32kx+60=0，由此利用根的判別式結(jié)合題設(shè)條件能求出k的值．

解答： 解：（Ⅰ）若曲線C：

x2

m+2

+

y2

3-m

=1是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
則有m+2＞3-m＞0，
解得

1

2

＜m＜3．
∴m的取值范圍是（

1

2

，3）．（3分）
（Ⅱ）m=2時(shí)，曲線C的方程為

x2

4

+y2=1，C為橢圓，
由題意知，點(diǎn)D（0，4）的直線l的斜率存在，
∴設(shè)l的方程為y=kx+4，
由

x2 4 +y2=1，  y=kx+4

消去y得（1+4k²）x²+32kx+60=0．（5分）
△=（32k）²-240（1+4k²）=64k²-240，
當(dāng)△＞0時(shí)，解得k2＞

15

4

．
設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
因?yàn)椤螼MN為直角，所以k_OM•k=-1，即

y1

x1

•

y1-4

x1

=-1，
整理得

x

2 1

=4y1-

y

2 1

．①（7分）
又

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，②，
將①代入②，消去x₁得3

y

2 1

+4y1-4=0，
解得y1=

2

3

或y₁=-2（舍去），
將y1=

2

3

代入①，得x1=±

2

3

5

，
∴k=

y1-4

x1

=±

5

．
故所求k的值為±

5

．（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓中參數(shù)的取值范圍的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用．