Question

已知拋物線y²=x上相異兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=2．
（1）若AB的中垂線經(jīng)過點P（0，2），求直線AB的方程；
（2）若AB的中垂線交x軸于點M，求△ABM的面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)AB的中點Q（1，t），由已知條件推導(dǎo)出t=

2

3

，由此能求出直線AB的方程．
（2）l_AB：x-2ty+2t²-1=0，聯(lián)立

y2=x x-2ty+2t2-1=0

，得y²-2ty+2t²-1=0，由此利用兩點間距離公式、韋達定理、弦長公式和根的判別式能求出△ABM的面積的最大值．

解答： （本題滿分15分）
解：（1）設(shè)AB的中點Q（1，t），
則kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y22-y12

=

1

y2+y1

=

1

2t

，
l_PQ：y-t=-2t（x-1）…（3分）
令x=0，y=2，則2-t=2t，解得t=

2

3

，
∴kAB=

3

4

…（5分）∴l(xiāng)_AB：y-t=

3

4

(x-1)，
即：9x-12y-1=0…（6分）
（2）∵l_PQ：y-t=-2t（x-1）
令y=0，則-t=-2t（x-1），
∴x=

3

2

，即M(

3

2

，0)，l_AB：y-t=

1

2t

(x-1)，即x-2ty+2t²-1=0，
∴dM-AB=

| 3 2 -1+2t2|

1+4t2

=

| 1 2 +2t2|

1+4t2

=

1

2

1+4t2

…（8分）
聯(lián)立

y2=x x-2ty+2t2-1=0

，得y²-2ty+2t²-1=0，
∴

△=-4t2+4＞0 y1+y2=2t y1y2=2t2-1

，∴-1＜t＜1，
∴|AB|=

1+ 1 k2

4t2-8t+4

=

1+4t2

4-4t2

…（11分）
∴S=

1

2

|AB|d=

1+4t2

2

1-t2

…（12分）
令

1-t2

=m，則t²=1-m²，
∵t∈（-1，1），∴m²∈（0，1），
∴S=[1+4（1-m²）]m=5m-4m³，
令S'=5-12m²=0，
∴當(dāng)m2=

5

12

時，Smax=

5 15

18

．…（15分）

點評：本題考查直線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是要中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．