在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，函數(shù)f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（x∈R）在x=

5π

12

處取得最大值．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=7且sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面積．

如圖所示，已知橢圓C₁和拋物線(xiàn)C₂有公共焦點(diǎn)F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C₂分別相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫(xiě)出拋物線(xiàn)C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)；
（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C₂上，直線(xiàn)l與橢圓C₁有公共點(diǎn)，求橢圓C₁的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值．

設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且離心率為

3

2

的橢圓交圓x²+y²-4x-2y+

5

2

=0于A、B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB是圓的直徑．
（1）求線(xiàn)段AB的斜率；
（2）求橢圓的方程．

已知橢圓M的中心原點(diǎn)O，點(diǎn)F（-1，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)F與橢圓M交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)L的斜率不存在時(shí)，

OP

•

OQ

=

1

2

．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)A、B、C是橢圓M上的不同三點(diǎn)，且

OA

+

OB

+

OC

=0，證明直線(xiàn)AB與OC的斜率之積為定值．

已知點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足：|PM|•|PN|=

4

1+cos∠MPN

，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)N（1，0）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相 交于A、B兩點(diǎn)，并且曲線(xiàn)C存在點(diǎn)Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAQB的面積；若不存在，說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）=

ln(x+1)

ax+1

．
（1）當(dāng)a=1，求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線(xiàn)方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且x+y+z=1，求證：

(3x-1)ln(x+1)

x-1

+

(3y-1)ln(y+1)

y-1

+

(3z-1)ln(z+1)

z-1

≤0．

如圖，直線(xiàn)PA為圓O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，直徑BC⊥OP，連接AB交PO于點(diǎn)D．
（1）證明：PA=PD；
（2）求證：PA•AC=AD•OC．

節(jié)能燈的質(zhì)量通過(guò)其正常使用時(shí)間來(lái)衡量，使用時(shí)間越長(zhǎng)，表明治療越好．若使用時(shí)間小于4千小時(shí)的產(chǎn)品為不合格產(chǎn)品；使用時(shí)間在4千小時(shí)到6千小時(shí)（不含6千小時(shí)）的產(chǎn)品為合格品；使用時(shí)間大于或等于6千小時(shí)的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．某節(jié)能燈生產(chǎn)廠家為了解同一類(lèi)型號(hào)的某批次產(chǎn)品的質(zhì)量情況，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品作為樣本，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果的頻率直方圖如圖所示．若上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果中使用時(shí)間落入各組的頻率作為相應(yīng)的概率．
（1）若該批次有產(chǎn)品2000件，試估計(jì)該批次的不合格品，合格品，優(yōu)質(zhì)品分別有多少件？
（2）已知該節(jié)能燈生產(chǎn)廠家對(duì)使用時(shí)間小于6千小時(shí)的節(jié)能燈實(shí)習(xí)“三包”．通過(guò)多年統(tǒng)計(jì)可知：該型號(hào)節(jié)能燈每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與使用時(shí)間t（單位：千小時(shí)）的關(guān)系式為y=

-20，t＜4 20，4≤t＜6 40，t≥6

．現(xiàn)從大量的該型號(hào)節(jié)能燈中隨機(jī)抽取一件，其利潤(rùn)記為X（單位：元），求X≥20的概率．

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)P(

2

，

3

)，且離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)F作兩漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）求四邊形OMFN的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F和A，且拋物線(xiàn)y²=-8x的焦點(diǎn)恰好為F，原點(diǎn)O到直線(xiàn)AF的距離為

2 5

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l交橢圓C于M、N，且F為△AMN的垂心，試求直線(xiàn)l的方程．