已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率e=

2

2

，A，B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線OA與OB的斜率乘積k_OA•k_OB=-

1

2

，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OA

+λ

OB

，（其中實(shí)數(shù)λ為常數(shù)）．問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值？若存在，求F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)A在x軸上的射影為C，連接BC并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D．證明：AB⊥AD．

已知曲線C的方程為：ax²+ay²-2a²x-4y=0（a≠0，a為常數(shù)）．
（1）判斷曲線C的形狀；
（2）設(shè)曲線C分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B（A、B不同于原點(diǎn)O），試判斷△AOB的面積S是否為定值？并證明你的判斷；
（3）設(shè)直線l：y=-2x+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且|OM|=|ON|，求曲線C的方程．

已知P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的焦點(diǎn)．若△PF₁F₂的周長(zhǎng)為6，橢圓的離心率為

1

2

，求橢圓上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的最小距離．

如圖：已知直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）．
（1）求p的值；
（2）求△AOB的面積．

如圖，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₂作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F₁作直線PF₁的垂線交直線l：x=-

a2

c

于點(diǎn)Q．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，6），求雙曲線C的方程及點(diǎn)P處的切線方程；
（2）證明：直線PQ與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）若過(guò)l：x=-

a2

c

上任一點(diǎn)M作雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為T₁，T₂，問：直線T₁T₂是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知點(diǎn)M（1，-1）與點(diǎn)N（-1，1），動(dòng)點(diǎn)P滿足：直線MP與NP的斜率之積等于-

1

3

．設(shè)直線MP與NP分別與直線x=3相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P使得△PMN與△PAB的面積相等，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是多少？

已知橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)．
（1）求|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）∠F₁PF₂=60°時(shí)，求△F₁PF₂的面積S；
（3）已知點(diǎn)A（2，2），求|PA|+|PF₂|的最小值．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

3

2

），離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C的右頂點(diǎn)．直線AM與直線BM分別與y軸交于點(diǎn)P，Q，試問以線段PQ為直徑的圓是否過(guò)x軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)M到拋物線C焦點(diǎn)F的距離|MF|=2．
（1）試求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與拋物線C相交所得的弦的中點(diǎn)為（2，1），試求直線l的方程．

已知函數(shù)f（x）=alnx+1（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1且x＞1時(shí)，證明：f（x）＞3-

4

x+1

；
（2）若對(duì)?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，證明：

n+1

i=2

f（i）＞2（n+1-

n+1

）．