Question

已知P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的焦點．若△PF₁F₂的周長為6，橢圓的離心率為

1

2

，求橢圓上的點到橢圓焦點的最小距離．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知條件求出橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，再利用橢圓的參數(shù)方程和兩點間距離公式能求出橢圓上的點到橢圓焦點的最小距離．

解答： 解：∵P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的焦點．
△PF₁F₂的周長為6，橢圓的離心率為

1

2

，
∴e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，
P在橢圓上，由橢圓性質(zhì)|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴△PF₁F₂的周長=2a+2c=6，
∴a+c=3，a=2，c=1，∴b²=4-1=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
設(shè)P（2cosθ，

3

sinθ）（0≤θ＜2π）是橢圓上任意一點，F(xiàn)₂（1，0），
則|PF|=

(2cosθ-1)2+( 3 sinθ)2

=

4cos2θ+3sin2θ-4cosθ+1

=

cos2θ-4cosθ+4

=

(cosθ-2)2

=|cosθ-2|≥1．
當且僅當cosθ=1時，|PF|取最小值1．
∴橢圓上的點到橢圓焦點的最小距離是1．

點評：本題考查動點到定點的最小距離的求法，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式和橢圓的參數(shù)方程的合理運用．