在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO
（Ⅰ）求證直線A、B恒過定點（0，1）
（Ⅱ）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

已知f（α）=

cos( π 2 +α)•cos(2π-α)•sin(-α+ 3π 2 )

sin(-π-α)•sin( 3π 2 +α)

．
（1）化簡f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cos（α-

3π

2

）=

1

5

，求f（α）的值．

當0＜x＜

π

2

時，證明：

2x

π

x＜sinx＜x．

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），其中常數(shù)k為負數(shù)，且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）當x∈[2，4]時，求f（x）的解析式；
（3）寫出f（x）在[-3，3]上的表達式．

2013年11月，青島發(fā)生輸油管道爆炸事故造成膠州灣局部污染．國家海洋局用分層抽樣的方法從國家環(huán)保專家、海洋生物專家、油氣專家三類專家?guī)熘谐槿∪舾扇私M成研究小組赴泄油海域工作，有關(guān)數(shù)據(jù)見表1（單位：人）
表一

	相關(guān)人員數(shù)	抽取人數(shù)
環(huán)保專家	24	X
海洋生物專家	48	y
油氣專家	72	6

表二

	重度污染	輕度污染	合計
身體健康	30	A	50
身體不健康	B	10	60
合計	C	D	E

海洋生物專家為了檢測該地受污染后對海洋動物身體健康的影響，隨機選取了110只海豚進行了檢測，并將有關(guān)數(shù)據(jù)整理為不完整的2×2列聯(lián)表，如表2．
（Ⅰ）求研究小組的總?cè)藬?shù)；
（Ⅱ）寫出表2中A，B，C，D，E的值，并判斷有多大的把握認為海豚身體不健康與受到污染有關(guān)；
（Ⅲ）若從研究小組的環(huán)保專家和海洋生物專家中隨機選2人撰寫研究報告，求其中恰好有1人為環(huán)保專家的概率．附：①K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d②

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0），x∈[0，4]的圖象，且圖象的最高點為S（3，2

3

），賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求A，ω的值和M，P兩點間的距離；
（2）設∠PMN=θ，試用θ表示賽道MNP的長；            
（3）當θ為何值時，折線段賽道MNP最長？

已知函數(shù)f（x）=

3-ax a-1

（a≠1）
（1）若a＞0，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

已知曲線Γ：y²=4x，直線l經(jīng)過點（0，2）且其一個方向向量為

d

=（1，k）．
（1）若曲線Γ的焦點F在直線l上，求實數(shù)k的值；
（2）當k=-1時，直線l與曲線Γ相交于A、B兩點，求|AB|的值；
（3）當k（k＞0）變化且直線l與曲線Γ有公共點時，是否存在這樣的實數(shù)a，使得點P（a，0）關(guān)于直線l的對稱點Q（x₀，y₀）落在曲線Γ的準線上．若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假．
（1）至少有一個整數(shù)，它既能被11整除，又能被9整除；
（2）?x∈{x|x＞0}，x+

1

x

≥2；
（3）?x∈{x|x∈Z}，log₂x＞2．

如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（1）求證炮發(fā)射的高度不會超過5千米；
（2）求炮的最大射程．