Question

如圖，在三棱錐C-OAB中，CO⊥平面AOB，OA=OB=2OC=2，AB=2

2

，D為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面COD；
（Ⅱ）若動點E滿足CE∥平面AOB，問：當AE=BE時，平面ACE與平面AOB所成的銳二面角是否為定值？若是，求出該銳二面角的余弦值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出CO⊥AB，DO⊥AB．由此能證明AB⊥平面COD．
（Ⅱ）以點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ACE與平面AOB所成的銳二面角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）在三棱錐C-OAB中，CO⊥平面AOB，
∴CO⊥AB．…（2分）
又OA=OB，D為AB的中點，
∴DO⊥AB．…（4分）
∵DO∩CO=O，
∴AB⊥平面COD．…（5分）
（Ⅱ）∵OA=OB=2，AB=2

2

，
∴AO⊥BO．…（5分）
由CO⊥平面AOB，故以點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標系（如圖），
由已知可得O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），D（1，1，0）．…（7分）
由CE∥平面AOB，故設E（x，y，1）．…（8分）
由AE=BE，得

(x-2)2+y2+12

=

x2+(y-2)2+12

，
故x=y，即E（x，y，1），（x≠0）．…（9分）
設平面ACE的法向量為

n1

=(a，b，c)，由

AC

=(-2，0，1)，

CE

=（x，y，0），
得

-2a+C=0 ax+bx=0

，令a=1，得

n1

=（1，-1，2）．…（11分）
又平面AOB的法向量為

n2

=(0，0，1)，…（12分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

2

1× 6

=

6

3

．
故平面ACE與平面AOB所成的銳二面角為定值，且該銳二面角的余弦值為

6

3

．…（13分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等，考查化歸與轉化思想．