Question

設函數f（x）=x³-

3

2

ax²+a（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）是否存在實數a使得函數f（x）在區(qū)間（-1，2）上既存在最大值又存在最小值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數即可求得函數的單調區(qū)間，注意對a的討論；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，通過函數的單調性求得函數的最小值；
（Ⅲ）利用導數求函數的最值，關鍵是對a的分類討論要全面具體．

解答： 解：（Ⅰ）因為f′（x）=3x（x-a），所以有：
當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，0），（a，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，a）；
當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，a），（0，+∞），單調遞減區(qū)間為（a，0）；
當a=0時，f′（x）=3x²≥0，所以函數f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上遞增；（4分）
（Ⅱ）當a≤0時，由（1）易知f（x）在區(qū)間[0，2]上單調遞增，故最小值為f（0）=a；
當a≥2時，由（1）知f（x）在[0，2]上單調遞減，故最小值為f（2）=8-5a
當0＜a＜2時，由（1），f（x）在[0，a]上遞減，在[a，2]上遞增，
所以此時最小值為f(a)=-

1

2

a3+a；                     （8分）
（Ⅲ）當a≤-1時，由（1），f（x）在（-1，0]上單調遞減，在[0，2）上單調遞增，
所以此時只存在最小值f（0）而不存在最大值，不合題意；
當-1＜a＜0時，由（1），f（x）在（-1，a]上單調遞增，在[a，0]上單調遞減，在[0，2）上單調遞增，
此時，若函數f（x）既存在最大值又存在最小值，
則最大值必為f（a），最小值必為f（0），于是應有

f(0)≤f(-1) f(a)≥f(2)

，解得a≤-4，
又-1＜a＜0，此時a不存在；
當a=0時，因為由（1）可知函數f（x）在區(qū)間（-1，2）上單調遞增，
所以此時既不存在最大值也不存在最小值；
當0＜a＜2時，由（1），f（x）在（-1，0]上單調遞增，在[0，a]上單調遞減，
在[a，2）上單調遞增，若存在最大值與最小值，則應有

f(a)≤f(-1) f(0)≥f(2)

，
解得a≥2，又0＜a＜2，故此時a不存在；
當a≥2時，因為f（x）在（-1，0]上單調遞增，在[0，2）上單調遞減，
于是只存在最大值不存在最小值，不合題意．
綜上不存在實數a使所給函數在給定區(qū)間上既存在最大值又存在最小值．（12分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，求單調區(qū)間及最值的知識，考查分類討論思想的運用能力，邏輯性強，屬難題．