在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知asinB=3csinA，c=2，且c，a-1，b+2依次成等比數(shù)列．
（1）求a的大��；
（2）求cos（2A+

π

3

）的值．

某產(chǎn)品生產(chǎn)成本C萬元與產(chǎn)量q件（q∈N^*）的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，銷售單價(jià)p萬元與產(chǎn)量q件的函數(shù)關(guān)系式為p=25-

1

4

q．當(dāng)產(chǎn)量為多少件時，每件產(chǎn)品的平均利潤最大，且最大值為多少？

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=4處的切線相互平行，求a的值；
（2）試討論f=f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）=x²-2x，對任意的x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-3x，且在x=1時函數(shù)取得極值．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若g（x）=x²-2x-1（x＞0），
（Ⅰ）證明：當(dāng)x＞1時，g（x）的圖象恒在f（x）的上方．
（Ⅱ）證明不等式（2n-1）²＞8ln（1×2×3×…×n）（n∈N^*）恒成立．

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在(0，

1

2

)上無零點(diǎn)，求a最小值；
（3）若對任意給定的x₀∈（0，e]，關(guān)于x的方程f（x）=g（x₀）在x∈（0，e]恒有兩個不同的實(shí)根，求a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅲ）求證：ln[1+

2×3

(3-1)2

]+ln[1+

2×32

(32-1)2

]+…+ln[1+

2×3n

(3n-1)2

]＜2．

已知函數(shù)f(x)=x-alnx，g(x)=-

1+a

x

(a∈R)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范圍．

已知命題p：對于m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立；命題q：不等式x²+ax+2＜0有解，若p∨q為真，且p∧q為假，求a的取值范圍．

已知二次函數(shù)f （ x ）=x²+ax（a∈R）．
（1）若函數(shù)y=f （sinx+

3

cosx） （x∈R）的最大值為

16

3

，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)a＞2時，求證：f （sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x）≥1-a．其中x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

（k∈Z）．

已知函數(shù)f（x）=1+ln

x

2-x

（0＜x＜2）
（1）是否存在點(diǎn)M（a，b），使得函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)y=f（x）的圖象上？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（2）定義S_n=

2n-1

i-1

f（

i

n

）=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

2n-1

n

），其中n∈N^*，求S₂₀₁₄；
（3）在（2）的條件下，令S_n+1=2a_n，若不等式2 an•（a_n）^m＞1對?n∈N^*且n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．