Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-3x，且在x=1時(shí)函數(shù)取得極值．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若g（x）=x²-2x-1（x＞0），
（Ⅰ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）的圖象恒在f（x）的上方．
（Ⅱ）證明不等式（2n-1）²＞8ln（1×2×3×…×n）（n∈N^*）恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，利用在x=1時(shí)函數(shù)取得極值，求出a的值，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）（Ⅰ）設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx-1（x＞0），證明當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）遞增，h（x）＞h（1）=0即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x＞1時(shí)，x-lnx-1＞0恒成立，可得n＞1時(shí)，lnn＜n-1，分別令n取2，3，…，并將各式相加，可得結(jié)論．

解答： （1）解：f′(x)=

1

x

+2ax-3（x＞0）（1分）
由f’（1）=0有：a=1（2分）
此時(shí)f′(x)=

1

x

+2x-3=

(2x-1)(x-1)

x

(x＞0)可知x=1時(shí)f（x）的極值點(diǎn)，（3分）
且f'（x）＞0?0＜x＜

1

2

或x＞1
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

2

），（1，+∞）．（5分）
（2）證明：（Ⅰ）設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx-1（x＞0）
∴h′(x)=1-

1

x

當(dāng)x＞1時(shí)，有h'（x）＞0恒成立，h（x）遞增，∴h（x）＞h（1）=0
∴g（x）＞f（x）恒成立，即g（x）的圖象恒在f（x）的上方．（8分）
（Ⅱ）證明：n=1時(shí)，不等式左邊=1，右邊=0，不等式成立．（9分）
由（Ⅰ）知：x＞1時(shí)，x-lnx-1＞0恒成立
∴n＞1時(shí)，lnn＜n-1（10分）
分別令n取2，3，…，并將各式相加，有：ln2+ln3+…+lnn＜1+2+…+（n-1）（12分）
∴ln(2×3×…×n)＜

1+(n-1)

2

(n-1)=

n2-n

2

＜

1

2

(n2-n+

1

4

)
∴4n²-4n+1＞8ln（1×2×3×…×n），即：（2n-1）²＞8ln（1×2×3×…×n）（13分）
綜上有：（2n-1）²＞8ln（1×2×3×…×n）（n∈N^*）恒成立．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值關(guān)系，考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明，屬于難題．