是否存在自然數(shù)m，使f(n)＝(2n＋7)·3ⁿ＋9對于任意自然數(shù)n∈N*都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

在數(shù)列{a_n}中，若a₁＝cotx，a_n＝a_n－1cosx－sin(n－1)x，試求通項(xiàng)a_n的表達(dá)式且證明．

在數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，且S_n＝1/2(a_n＋)

(1)求a₁、a₂、a₃；

(2)猜測出a_n的關(guān)系式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

對于以下數(shù)的排列：

　　　　　　　　　　　　　　2，3，4

　　　　　　　　　　　　　　3，4，5，6，7，

　　　　　　　　　　　　　　4，5，6，7，8，9，10

　　　　　　　　　　　　　　……

(1)求前三項(xiàng)每行各項(xiàng)之和；

(2)歸納出第n行各項(xiàng)的和與n的關(guān)系式；

(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明(2)中所得的關(guān)系式．

在2與8之間插入n個(gè)正數(shù)a₁，a₂，…a_n，使這n＋2個(gè)正數(shù)依次成等差數(shù)列，又在2與8之間插入n個(gè)正數(shù)b₁，b₂，…b_n，使這n＋2個(gè)正數(shù)依次成等比數(shù)列；設(shè)A_n＝a₁＋…＋a_n，B_n＝b₁·…·b_n．

(1)求|An|及|Bn|的通項(xiàng)公式．

(2)求使f(n)＝3A_n＋B_n－10對任意自然數(shù)n都能被m整除的最大自然數(shù)m之值．

平面上有n條直線，其中任何兩條都不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：n條直線

(1)被分割成n²段；

(2)把平面分成1/2(n²＋n＋2)部分．

(理)已知定點(diǎn)A(0，1)、B(0，－1)、C(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足．

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線．

(2)當(dāng)k＝2時(shí)，求|2＋|的最大值和最小值．

(文)已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)、B(2，2)，并且直線m：3x－2y＝0平分圓C．

(1)求圓C的方程；

(2)若過點(diǎn)D(0，1)，且斜率為k的直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N．

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(Ⅱ)若＝12，求k的值．

已知圓C的方程為：x²＋y²＝4．

(1)求過點(diǎn)P(1，2)且與圓C相切的直線l的方程；

(2)直線l過點(diǎn)P(1，2)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，求直線l的方程；

(3)圓C上有一動(dòng)點(diǎn)M(x₀，y₀)，＝(0，y₀)，若向量＝＋，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

圓C：(x－1)²＋(y－2)²＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．

(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒相交于兩點(diǎn)；

(2)求⊙C與直線l相交弦長的最小值．