Question

【題目】如圖,棱錐的地面是矩形, 平面,,.

(1)求證: 平面;

(2)求二面角的大小;

(3)求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2);(3).

【解析】

（1）先證明為正方形,可得,由平面,平面,可得，利用線面垂直的判定定理可得結果；（2）以為軸建立空間直角坐標系,根據向量垂直數量積為零，列方程組求出平面的法向量，結合為平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式求出兩個向量的夾角余弦，進而轉化為二面角的平面角即可；（3）求出平面的法向量，再求出平面的斜線所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到點到平面的距離.

(1)解法一:在中, ,,

∴,∴為正方形,

因此,

∵平面,平面,

∴.又∵,

∴平面.

解法二:以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則,,,

在中, ,,

∴,∴,,

∴,,.

∵,,

即,.又,

∴平面.

(2)解法一:由平面,

知為在平面上的射影.

又,∴,

∴為二面角的平面角.

又∵,∴.

解法二:由1題得,.

設平面的法向量為,則,,

即,∴,

故平面的法向量可取為,

∵平面,

∴為平面的法向量.

設二面角的大小為,

依題意可得,

∴.

(3)解法一:∵,

∴,

設到平面的距離為,

由,

有,

得.

解法二:由1題得,,

設平面的法向量為,

則,,

即,

∴.

故平面的法向量可取為.

∵,

∴到平面的距離為.