Question

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，E、F、G分別是PD、PC、BC的中點．
（1）求證：直線EG∥平面PAB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，M是線段CD上任一點，求三棱錐M-EFG的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PA的中點N，連接EN，BN，證明四邊形ENBG為平行四邊形，可得EG∥BN，從而證明直線EG∥平面PAB；
（2）CD上的點M到平面EFG的距離等于D到平面EFG的距離，可得V_M-EFG=V_D-EFG．

解答： （1）證明：取PA的中點N，連接EN，BN，則
∵E，N為PD，PA的中點，
∴EN∥AD，EN=

1

2

AD，
∵BG∥AD，BG=

1

2

AD，
∴BG∥EN，BG=EN，
∴四邊形ENBG為平行四邊形，
∴EG∥BN，EG=BN，
∵BN?平面PAB，EG?平面PAB，
∴直線EG∥平面PAB；
（2）解：∵CD∥EF，∴CD∥平面EFG，
故CD上的點M到平面EFG的距離等于D到平面EFG的距離，∴V_M-EFG=V_D-EFG，
取AD的中點H，連接EH，HG，則EF∥GH，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵EF∥CD，EF⊥平面PAD，EH?平面PAD，
∴EF⊥EH，
∴S_△EFG=S_△EFH=

1

2

EF•EH=2
∵平面EFGH⊥平面PBD，平面EFGH∩平面PBD=EH，
∴D到平面EFG的距離即三角形EHD的高，等于

3

∴V_M-EFG=V_D-EFG=

2 3

3

點評：此題考查直線與平面平行的判斷及三棱錐M-EFG的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用線與平面平行的判斷是關(guān)鍵．