Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx，且圖象在點（

1

e

，f（

1

e

））處的切線斜率為1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設g（x）=

f(x)-x

x-1

，求g（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax+xlnx，得f′（x）=a+1+lnx，依題意f′（

1

e

）=a=1，從而求出a=1．
（Ⅱ）由g′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

，設h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=1-

1

x

，討論①當x＞1時，②當0＜x＜1時的情況，得出g（x）的單調增區(qū)間為（0，1），（1，+∞）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=ax+xlnx，
∴f′（x）=a+1+lnx，
依題意f′（

1

e

）=a=1，
∴a=1．
（Ⅱ）∵g（x）=

xlnx

x-1

，
∴g′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

，
設h（x）=x-1-lnx，
則h′（x）=1-

1

x

，
當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)．
對?x＞1，h（x）＞h（1）=0，即當x＞1時，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）是減增函數(shù)．
對?x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，即當0＜x＜1時，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
∴g（x）的單調增區(qū)間為（0，1），（1，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，求參數(shù)的值，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．