Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與y軸垂直．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè) ，對(duì)任意x＞0，證明：（x+1）g（x）＜ex+ex﹣2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)? ，

由已知得 ，∴ ．

所以 ，

設(shè) ，則 ，

在（0，+∞）上恒成立，即k（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，

由k（1）=0知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)k（x）＞0，

從而f'（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)k（x）＜0，從而f'（x）＜0．

綜上可知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）

（2）解：因?yàn)閤＞0，要證原式成立即證 成立，

現(xiàn)證明：對(duì)任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2恒成立，

當(dāng)x≥1時(shí)，由（1）知g（x）≤0＜1+e﹣2成立；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，ex＞1，且由（1）知g（x）＞0，

∴ ．

設(shè)F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），則F'（x）=﹣（lnx+2），

當(dāng)x∈（0，e﹣2）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，

當(dāng)x∈（e﹣2，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，

所以當(dāng)x=e﹣2時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．　

所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2，即0＜x＜1時(shí)，g（x）＜1+e﹣2．

綜上所述，對(duì)任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．①

令G（x）=ex﹣x﹣1（x＞0），則G'（x）=ex﹣1＞0恒成立，

所以G（x）在（0，+∞）上遞增，G（x）＞G（0）=0恒成立，

即ex＞x+1＞0，即 ．②

當(dāng)x≥1時(shí)，有： ；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由①②式， ，

綜上所述，x＞0時(shí)， 成立，

故原不等式成立

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證 成立，從而證明 ，設(shè)F（x）=1﹣xlnx﹣x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．