Question

【題目】已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）且；（2）證明見解析.

【解析】

（1）函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有3個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，由于，且，所以可得有兩個(gè)不為0，－1的實(shí)根，再對(duì)求導(dǎo)討論其單調(diào)性可得結(jié)果；

（2）由（1）可知有一個(gè)零點(diǎn)為0，所以不妨設(shè)，，而，所以，因此要證，即證而，，而在上遞減，，所以只需證，即，然后構(gòu)造函數(shù)，只需證此函數(shù)值恒大于零即可.

解：（1）利用的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

，，設(shè)，

由已知，方程有兩個(gè)不為0，－1的實(shí)根，

當(dāng)時(shí)，在上遞增，至多一個(gè)實(shí)根，故

所以在上遞減，在上遞增，

因?yàn)?/span>，

所以時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根，

解得且

（2）由（1）不妨設(shè)，，∵，∴.

要證，即證而，

由在上遞減，在上遞增，且

故只要證，又，故只要證

即證

設(shè)

∴

∴遞增，∴

即

∴