【題目】設(shè)橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦點F1 ， F2 ， 過右焦點F2的直線l與C相交于P、Q兩點，若△PQF1的周長為短軸長的2 倍．
（1）求C的離心率；
（2）設(shè)l的斜率為1，在C上是否存在一點M，使得 ？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【答案】
（1）解：∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦點F1，F(xiàn)2，過右焦點F2的直線l與C相交于P、Q兩點，

△PQF1的周長為短軸長的2 倍，△PQF1的周長為4a

∴依題意知 ，即

∴C的離心率


（2）解：設(shè)橢圓方程為 ，直線的方程為y=x﹣c，

代入橢圓方程得

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則 ，

設(shè)M（x0，y0），則 ①

由 得

代入①得

因為 ， ，

所以 ②

而

從而②式不成立．

故不存在點M，使 成立


【解析】（1）由橢圓的焦點F1 ， F2 ， 過右焦點F2的直線l與C相交于P、Q兩點，△PQF1的周長為短軸長的2 倍，得到 ，由此能求出橢圓C的離心率．（2）設(shè)橢圓方程為 ，直線的方程為y=x﹣c，代入橢圓方程得 ，由此利用韋達定理、橢圓性質(zhì)、向量知識，結(jié)合已知條件能求出不存在點M，使 成立．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=3，a2=5，{an}的前n項和Sn ， 且滿足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3）．
（1）試求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令bn= ，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，證明：Tn＜ ；
（3）證明：對任意給定的m∈（0， ），均存在n0∈N+ ， 使得當(dāng)n≥n0時，（2）中的Tn＞m恒成立．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若 ＜﹣1，且它的前n項和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取的最小正值時，n=（ ）
A.11
B.17
C.19
D.21

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）在定義域[﹣1，1]是奇函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，0]時，f（x）=﹣3x2 ．
（1）當(dāng)x∈[0，1]，求f（x）；
（2）對任意a∈[﹣1，1]，x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，求θ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面為正方形，.

（1）證明：面⊥面；

（2）若與底面所成的角為， ，求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m≥ 時，設(shè)g（x）=2f（x）+x2的兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2）恰為h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零點，求y=（x1﹣x2）h′（ ）的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1|．
（1）若不等式f（x+ ）≥2m+1（m＞0）的解集為（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求實數(shù)m的值；
（2）若不等式f（x）≤2y+ +|2x+3|，對任意的實數(shù)x，y∈R恒成立，求實數(shù)a的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD，經(jīng)測量BC=2百米，CD=1百米，∠BCD=120°，擬過線段BC上一點E設(shè)計一條直路EF（點F在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度），將綠地分為面積之比為1：3的左右兩部分，分別種植不同的花卉，設(shè)EC=x百米，EF=y百米．

（1）當(dāng)點F與點D重合時，試確定點E的位置；
（2）試求x的值，使路EF的長度y最短．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，∠PCA=90°，E，H分別為AP，AC的中點，AP=4，BE= ．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEH；
（Ⅱ）求直線PA與平面ABC所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案