【題目】已知函數f(x)=|2x﹣1|.
(1)若不等式f(x+ )≥2m+1(m>0)的解集為(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),求實數m的值;
(2)若不等式f(x)≤2y+ +|2x+3|,對任意的實數x,y∈R恒成立,求實數a的最小值.
【答案】
(1)解:∵不等式f(x+ )≥2m+1(m>0)的解集為(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),
即|2(x+ )﹣1|≤2m+1 的解集為(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).
由|2x|≥2m+1,可得2x≥2m+1,或2x≤﹣2m﹣1,
求得 x≥m+ ,或x≤﹣m﹣ ,
故|2(x+ )﹣1|≤2m+1 的解集為(﹣∞,﹣m﹣ ]∪[m+ ,+∞),
故有m+ =2,且﹣m﹣ =﹣2,
∴m=
(2)解:∵不等式f(x)≤2y+ +|2x+3|,對任意的實數x,y∈R恒成立,
∴|2x﹣1|≤2y+ +|2x+3|恒成立,
即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+ 恒成立,
故g(x)=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+ .
∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣(2x+3)|=4,
∴4≤2y+ 恒成立,
∵2y+ ≥2 ,
∴2 ≥4,
∴a≥4,
故實數a的最小值為4
【解析】(1)求得不等式f(x+ )≥2m+1(m>0)的解集,再結合不等式f(x+ )≥2m+1(m>0)的解集為(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),求得m的值.(2)由題意可得g(x)=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+ ,再利用絕對值三角不等式求得g(x)的最小值為4,可得4≤2y+ 恒成立,再利用基本不等式求得2y+ 的最小值為2 ,可得2 ≥4,從而求得a的范圍.
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【題目】設關于x的一元二次方程,其中a,b是某范圍內的隨機數,分別在下列條件下,求上述方程有實根的概率.
(1)若隨機數a,b∈{1,2,3,4,5,6};
(2)若a是從區(qū)間[0,5]中任取的一個數,b是從區(qū)間[2,4]中任取的一個數.
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【題目】設橢圓C: =1(a>b>0)的焦點F1 , F2 , 過右焦點F2的直線l與C相交于P、Q兩點,若△PQF1的周長為短軸長的2 倍.
(1)求C的離心率;
(2)設l的斜率為1,在C上是否存在一點M,使得 ?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機制,且保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系.發(fā)生交通事故的次數越多,費率也就越高,具體浮動情況如下表:
交強險浮動因素和費率浮動比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
A1 | 上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮10% |
A2 | 上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮20% |
A3 | 上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮30% |
A4 | 上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% |
A5 | 上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故 | 上浮10% |
A6 | 上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:
類型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
數量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率;
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設購進一輛事故車虧損5 000元,一輛非事故車盈利10 000元.且各種投保類型的頻率與上述機構調查的頻率一致,完成下列問題:
①若該銷售商店內有6輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在店內隨機挑選2輛車,求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率;
②若該銷售商一次購進120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值.
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【題目】已知函數f(x)=2sin(x+ )cosx.
(1)若0≤x≤ ,求函數f(x)的值域;
(2)設△ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若A為銳角且f(A)= ,b=2,c=3,求cos(A﹣B)的值.
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【題目】設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,則下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號).
①若ab>c2 , 則C<
②若a+b>2c,則C<
③若a3+b3=c3 , 則C<
④若(a+b)c≤2ab,則C>
⑤若(a2+b2)c2≤2a2b2 , 則C> .
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【題目】經調查發(fā)現,人們長期食用含高濃度甲基汞的魚類會引起汞中毒,其中羅非魚體內汞含量比其它魚偏高.現從一批數量很大的羅非魚中隨機地抽出15條作樣本,經檢測得各條魚的汞含量的莖葉圖(以小數點前的數字為莖,小數點后一位數字為葉)如圖.《中華人民共和國環(huán)境保護法》規(guī)定食品的汞含量不得超過1.0ppm.
(Ⅰ)檢查人員從這15條魚中,隨機抽出3條,求3條中恰有1條汞含量超標的概率;
(Ⅱ)若從這批數量很大的魚中任選3條魚,記ξ表示抽到的汞含量超標的魚的條數.以此15條魚的樣本數據來估計這批數量很大的魚的總體數據,求ξ的分布列及數學期望Eξ.
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