Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

x-1

x

，是否存在過點（1，-1）的直線與函數(shù)y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：假設(shè)存在滿足條件的直線與函數(shù)相切，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識推導(dǎo)．

解答： 解：假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)其中一個切點T（x₀，lnx₀-

x0-1

x0

），
∴切線方程：y+1=

x0-1

x02

（x-1），將點T坐標(biāo)代入得：lnx₀-

x0-1

x0

=

(x0-1)2

x02

，
即lnx₀+

3

x0

-

1

x02

-1=0，①
設(shè)g（x）=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，則g′（x）=

(x-1)(x-2)

x3

．
令g'（x）=0，則x=1或x=2．

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴g（x）在區(qū)間（0，1），（2，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，
∴g（x）在x=1處取得極大值g（1）=1，在x=2處取得極小值g（2）=ln2+

1

4

，
∴g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，即g（x）=0在[1，+∞）上無解．
∵g（

1

4

）=-ln4-3＜0，g（1）=1＞0，g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，
根據(jù)零點定理，g（x）在區(qū)間（0，1）上有且僅有一個實數(shù)根，即方程①有且僅有一解，
故符合條件的切線有且僅有一條．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間，對于存在性問題，通常是先假設(shè)存在，由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，若推出矛盾，說明假設(shè)錯誤，即不存在，反之說明存在．