【題目】已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≤﹣1時(shí),f(x)=x+b,且f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,0),在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)為(0,2),過(guò)點(diǎn)(﹣1,1)的一段拋物線(xiàn).
(1)試求出f(x)的表達(dá)式;
(2)求出f(x)的值域.
【答案】
(1)解:當(dāng)x≤﹣1時(shí),f(x)=x+b,且f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,0),
則b﹣2=0,解得:b=2,即f(x)=x+2;
由于f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=f(﹣x)=﹣x+2;
y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)為(0,2),過(guò)點(diǎn)(﹣1,1)的一段拋物線(xiàn).
設(shè)y=ax2+2,過(guò)點(diǎn)(﹣1,1),則a+2=﹣1,解得:y=﹣x2+2,
可見(jiàn)當(dāng)﹣1<x<1時(shí),f(x)=﹣x2+2;
則f(x)=
(2)解:當(dāng)x≤﹣1時(shí),f(x)=x+2≤1;
當(dāng)﹣1<x<1時(shí),f(x)=﹣x2+2∈(1,2];
當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=﹣x+2≤1;
函數(shù)的值域?yàn)椋ī仭蓿?]
【解析】(1)由待定系數(shù)法可求出當(dāng)x≤﹣1時(shí)函數(shù)的解析式,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性得出當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=f(﹣x)=﹣x+2,由題意可知根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可求出﹣1<x<1時(shí)的函數(shù)解析式,進(jìn)而得到在不同的區(qū)間上的f(x)的解析式。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中a為常數(shù).
(1)若a=1,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若函數(shù) 在其定義域上是奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2ccosA+a=2b.
(1)求角C的值;
(2)若a+b=4,當(dāng)c取最小值時(shí),求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,則函數(shù)g(x)=f(x)﹣f′(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)C:x2=2py(p>0),過(guò)其焦點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于M、N兩點(diǎn),且|MN|=16. (Ⅰ)求拋物線(xiàn)C的方程;
(Ⅱ)已知?jiǎng)訄AP的圓心在拋物線(xiàn)C上,且過(guò)定點(diǎn)D(0,4),若動(dòng)圓P與x軸交于A、B兩點(diǎn),且|DA|<|DB|,求 的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值與最小值的差是1,則實(shí)數(shù)a的值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=( + )x3(a>0且a≠1).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性;
(3)求a的取值范圍,使f(x)>0在定義域上恒成立.
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